Прямоугольный треугольник

или Прямоугольный треугольник прямоугольный треугольник , иногда называемый ортогональным треугольником или прямоугольным треугольником , представляет собой треугольник , в котором две стороны перпендикулярны . образуя прямой угол ( 1 ⁄ оборота ) или 90 градусов .

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (сторона $c$ на рисунке). Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами (или катетами , в единственном числе: катет ). Сторона $a$ можно определить как сторону, прилежащую к углу $B$ и противоположный (или противоположный ) угол $A,$ в то время как сторона $b$ это сторона, прилежащая к углу $A$ и противоположный угол $B.$

Любой прямоугольный треугольник представляет собой половину прямоугольника , разделенного по диагонали . Когда прямоугольник представляет собой квадрат , его право-треугольная половина является равнобедренной , с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Если прямоугольник не является квадратом, его право-треугольная половина разносторонняя .

Всякий треугольник, основание которого равно диаметру круга , а вершина лежит на окружности, является прямоугольным треугольником с прямым углом в вершине и гипотенузой в основании; и наоборот, диаметр описанной окружности любого прямоугольного треугольника равен гипотенузе. Это теорема Фалеса .

Катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника удовлетворяют теореме Пифагора : сумма площадей квадратов двух катетов равна площади квадрата на гипотенузе, $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$ Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника целые числа, треугольник называется треугольником Пифагора , а длины его сторон вместе называются тройкой Пифагора .

Отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника обеспечивают один из способов определения и понимания тригонометрии — изучения метрических отношений между длинами и углами.

Основные свойства

Стороны

Три стороны прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора , которую в современных алгебраических обозначениях можно записать

a^{2}+b^{2}=c^{2},

где $c$ - длина гипотенузы ( сторона, противоположная прямому углу), а $a$ и $b$ — длины ног ( оставшихся двух сторон). Тройки Пифагора — это целые числа $a,b,c$ удовлетворяющее этому уравнению. Эта теорема была доказана в древности и представляет собой предложение I.47 в « » Евклида Началах : «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол».

Область

Как и в любом треугольнике, площадь равна половине произведения основания на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если один катет взять за основание, то другой — за высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов. По формуле площадь $T$ является

T={\tfrac {1}{2}}ab

где $a$ и $b$ являются катетами треугольника.

Если вписанная окружность касается гипотенузы $AB$ в точку $P,$ тогда пусть полупериметр будет $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),$ у нас есть $|PA|=s-a$ и $|PB|=s-b,$ а площадь определяется

T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам. ^[1]

Высоты

Если из вершины провести высоту под прямым углом к гипотенузе, то треугольник разделится на два меньших треугольника, которые оба подобны оригиналу и, следовательно, подобны друг другу. Из этого:

Высота до гипотенузы — это среднее геометрическое ( среднее пропорциональное ) двух сегментов гипотенузы. ^[2]^: 243
Каждый катет треугольника является средней пропорциональной гипотенузе и отрезку гипотенузы, прилежащему к катету.

В уравнениях

f^{2}=de,

(иногда это называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника )

b^{2}=ce,

a^{2}=cd

где $a,b,c,d,e,f$ такие, как показано на схеме. ^[3] Таким образом

f={\frac {ab}{c}}.

При этом высота до гипотенузы связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением ^[4]^[5]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

Для решений этого уравнения в целых значениях $a,b,c,f,$ см . здесь .

Высота каждой ноги совпадает с высотой другой ноги. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, ортоцентр прямоугольного треугольника — пересечение трех его высот — совпадает с прямоугольной вершиной.

Внутренний радиус и описанный радиус

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника со сторонами $a$ и $b$ и гипотенуза $c$ является

r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы,

R={\frac {c}{2}}.

Таким образом, сумма радиусов описанной и внутренней окружностей равна половине суммы катетов: ^[6]

R+r={\frac {a+b}{2}}.

Одну из катет можно выразить через внутренний радиус, а другую - как

a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.

Характеристики

Треугольник $\triangle ABC$ с боками $a\leq b<c$ , полупериметр ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ , область $T,$ высота $h_{c}$ напротив самой длинной стороны, радиуса описанной окружности $R,$ внутренний радиус $r,$ бывший $r_{a},r_{b},r_{c}$ касательная к $a,b,c$ соответственно, и медианы $m_{a},m_{b},m_{c}$ является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда любое из утверждений следующих шести категорий верно. Таким образом, каждый из них также является свойством любого прямоугольного треугольника.

Стороны и полупериметр

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})$
$(s-a)(s-b)=s(s-c)$
$s=2R+r.$ ^[7]
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$ ^[8]

Углы

$A$ и $B$ являются взаимодополняющими . ^[9]
$\cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$ ^[8]^[10]
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$ ^[8]^[10]
$\cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$ ^[10]
$\sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Область

$T={\frac {ab}{2}}$
$T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
$T=r(2R+r)$
$T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)$
$T=|PA|\cdot |PB|,$ где $P$ это точка касания вписанной окружности на самой длинной стороне $AB.$ ^[11]

Внутренний радиус и эксрадиус

$r=s-c=(a+b-c)/2$
$r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
$r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
$r_{c}=s=(a+b+c)/2$
$r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$ ^[12]

Высота и медиана

$h_{c}={\frac {ab}{c}}$
$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.$ ^[6]^{: Вероятно. 954, с. 26}
Длина одной медианы равна радиусу описанной окружности .
Кратчайшая высота (от вершины с наибольшим углом) — это среднее геометрическое на отрезков линии, которые она делит противоположную (самую длинную) сторону. Это теорема о высоте прямоугольного треугольника .

Окружность и вписанность

Треугольник можно вписать в полукруг , одна сторона которого совпадает со всем диаметром ( теорема Фалеса ).
Центр описанной окружности — это середина самой длинной стороны.
Самая длинная сторона равна диаметру описанной окружности $(c=2R).$
Описанная окружность касается девятиточечной окружности . ^[8]
Ортоцентр . лежит на описанной окружности ^[6]
Расстояние между инцентром и ортоцентром равно ${\sqrt {2}}r$ . ^[6]

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для данного угла можно построить прямоугольный треугольник с этим углом, а стороны обозначить противоположные, прилежащие и гипотенузу относительно этого угла в соответствии с определениями, приведенными выше. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от данного угла, так как все построенные таким образом треугольники подобны . Если для данного угла α противоположная сторона, прилежащая сторона и гипотенуза обозначены $O,$ $A,$ и $H,$ соответственно, то тригонометрические функции равны

\sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.

Для выражения гиперболических функций как отношения сторон прямоугольного треугольника см. гиперболический треугольник гиперболического сектора .

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относится треугольник 30-60-90, который можно использовать для вычисления тригонометрических функций для любого кратного числа. ${\tfrac {1}{6}}\pi ,$ и равнобедренный прямоугольный треугольник или треугольник 45-45-90, который можно использовать для вычисления тригонометрических функций для любого кратного ${\tfrac {1}{4}}\pi .$

Треугольник Кеплера

Позволять $H,$ $G,$ и $A$ быть средним гармоническим , средним геометрическим и средним арифметическим двух положительных чисел. $a$ и $b$ с $a>b.$ Если у прямоугольного треугольника есть катеты $H$ и $G$ и гипотенуза $A,$ затем ^[13]

{\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},

где $\phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}$ это золотое сечение . Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрической прогрессии , это треугольник Кеплера .

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса утверждает, что если $BC$ диаметр круга и $A$ любая другая точка на окружности, то $\triangle ABC$ это прямоугольный треугольник с прямым углом при $A.$ Обратное утверждение гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной вокруг него окружности . Как следствие, центр описанной окружности находится в середине диаметра, поэтому медиана, проходящая через прямоугольную вершину, представляет собой радиус, а описанный радиус равен половине длины гипотенузы.

медианы

справедливы следующие формулы Для медиан прямоугольного треугольника :

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.

Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, поскольку медиана равна половине гипотенузы.

Медианы $m_{a}$ и $m_{b}$ от ног удовлетворяю ^[6]^{: с.136, #3110}

4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.

линия Эйлера

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера содержит медиану гипотенузы, то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это связано с тем, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, падает на прямоугольную вершину, а центр описанной окружности, пересечение серединных перпендикуляров сторон , падает на середину гипотенузы.

Неравенства

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, а в большей степени меньше или равен разу гипотенузы. $({\sqrt {2}}-1).$ ^[14]^{: стр.281}

В прямоугольном треугольнике с ногами $a,b$ и гипотенуза $c,$

c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)

с равенством только в равнобедренном случае. ^[14]^{: стр.282, стр.358}

Если высоту от гипотенузы обозначить $h_{c},$ затем

h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)

с равенством только в равнобедренном случае. ^[14]^{: стр.282}

Другие объекты недвижимости

Если отрезки длины $p$ и $q$ исходящий из вершины $C$ разделить гипотенузу на отрезки длины ${\tfrac {1}{3}}c,$ затем ^[2]^{: стр. 216–217.}

p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.

Прямоугольный треугольник — единственный треугольник, в котором два, а не один или три различных вписанных квадрата. ^[15]

Учитывая любые два положительных числа $h$ и $k$ с $h>k.$ Позволять $h$ и $k$ — стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой. $c.$ Затем

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.

Эти стороны и радиус вписанной окружности $r$ связаны аналогичной формулой:

{\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трех вписанных окружностей :

a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.

См. также

Остроугольные и тупоугольные треугольники (косоугольные треугольники)
Спираль Теодора

Ссылки

^ Ди Доменико, Анджело С., «Свойство треугольников, включающее площадь», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., стр. 323–324.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Посаментье, Альфред С., и Салкинд, Чарльз Т. Сложные проблемы геометрии , Дувр, 1996.
^ Вентворт с. 156
^ Воулс, Роджер, "Целочисленные решения $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ », « Математический вестник» 83, июль 1999 г., стр. 269–271.
^ Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicum » , [1 ]
^ «Треугольник правый тогда и только тогда, когда s=2R+r, Искусство решения задач , 2011» . Архивировано из оригинала 28 апреля 2014 г. Проверено 2 января 2012 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, «Комплексные числа от А до... Я», Биркхойзер, 2006, стр. 109–110.
^ «Свойства прямоугольных треугольников» . Архивировано из оригинала 31 декабря 2011 г. Проверено 15 февраля 2012 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с CTK Wiki Math, вариант теоремы Пифагора , 2011, [2] Архивировано 5 августа 2013 г. в Wayback Machine .
^ Дарваси, Дьюла (март 2005 г.), «Обратное свойство прямоугольных треугольников», The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID 125992270 .
^ Белл, Эми (2006), «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342, заархивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2008 г.
^ Ди Доменико, А., «Золотое сечение - прямоугольный треугольник - и арифметические, геометрические и гармонические средние», Mathematical Gazette 89, июль 2005 г., 261. Также Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 89,41», том 90, март 2006 г., 153–154.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.
^ Бейли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine 71 (4), 1998, 278–284.

Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольный треугольник» . Математический мир .
Вентворт, Джорджия (1895 г.). Учебник геометрии . Джинн и Ко.

Внешние ссылки

[1] Ди Доменико, Анджело С., «Свойство треугольников, включающее площадь», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., стр. 323–324.

[Posamentier-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Посаментье, Альфред С., и Салкинд, Чарльз Т. Сложные проблемы геометрии , Дувр, 1996.

[3] Вентворт с. 156

[4] Воулс, Роджер, "Целочисленные решения $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ », « Математический вестник» 83, июль 1999 г., стр. 269–271.

[5] Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.

[Crux-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicum » , [1 ]

[7] «Треугольник правый тогда и только тогда, когда s=2R+r, Искусство решения задач , 2011» . Архивировано из оригинала 28 апреля 2014 г. Проверено 2 января 2012 г.

[Andreescu-8] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, «Комплексные числа от А до... Я», Биркхойзер, 2006, стр. 109–110.

[9] «Свойства прямоугольных треугольников» . Архивировано из оригинала 31 декабря 2011 г. Проверено 15 февраля 2012 г.

[CTK-10] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с CTK Wiki Math, вариант теоремы Пифагора , 2011, [2] Архивировано 5 августа 2013 г. в Wayback Machine .

[11] Дарваси, Дьюла (март 2005 г.), «Обратное свойство прямоугольных треугольников», The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID 125992270 .

[Bell-12] Белл, Эми (2006), «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342, заархивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2008 г.

[13] Ди Доменико, А., «Золотое сечение - прямоугольный треугольник - и арифметические, геометрические и гармонические средние», Mathematical Gazette 89, июль 2005 г., 261. Также Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 89,41», том 90, март 2006 г., 153–154.

[PL-14] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.

[15] Бейли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine 71 (4), 1998, 278–284.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]