Теорема о среднем геометрическом

площадь серого квадрата = площадь серого прямоугольника: $h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}$

В евклидовой геометрии теорема о среднем геометрическом или теорема о высоте прямоугольного треугольника представляет собой соотношение между высотой гипотенузы . в прямоугольном треугольнике и двумя отрезками, которые она создает на гипотенузе В нем говорится, что среднее геометрическое двух сегментов равно высоте.

Теорема и приложения

Если $h$ обозначает высоту в прямоугольном треугольнике, а $p$ и $q$ — отрезки гипотенузы, то теорему можно сформулировать так: ^[1]

h={\sqrt {pq}}

или по площадям:

h^{2}=pq.

Последняя версия дает метод возведения в квадрат прямоугольника с помощью линейки и циркуля , то есть построения квадрата равной площади заданному прямоугольнику. Для такого прямоугольника со сторонами $p$ и $q$ обозначим его верхнюю левую вершину через $D$ . Теперь мы расширим отрезок $q$ влево на $p$ (используя дугу $AE$ с центром в $D$ ) и нарисуем полукруг с конечными точками $A$ и $B$ с новым отрезком $p + q$ в качестве его диаметра. Затем мы проводим перпендикуляр к диаметру в $D$ который пересекает полукруг в $C.$ , Согласно теореме Фалеса $C$ и диаметр образуют прямоугольный треугольник с отрезком $DC$ в качестве его высоты, следовательно, $DC$ — это сторона квадрата с площадью прямоугольника. Этот метод также позволяет строить квадратные корни (см. конструктивное число ), поскольку, начиная с прямоугольника шириной 1, построенный квадрат будет иметь длину стороны, равную квадратному корню из длины прямоугольника. ^[1]

Другое применение дает геометрическое доказательство неравенства AM–GM в случае двух чисел. Для чисел $p$ и $q$ строится полукруг диаметром $p + q$ . Теперь высота представляет собой среднее геометрическое, а радиус — среднее арифметическое двух чисел. Поскольку высота всегда меньше или равна радиусу, это дает неравенство. ^[2]

Теорему также можно рассматривать как частный случай теоремы о пересекающихся хордах для круга, поскольку обратная теорема Фалеса гарантирует, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной вокруг него окружности . ^[1]

Обратное утверждение также верно. Любой треугольник, в котором высота равна среднему геометрическому двух образованных им отрезков, является прямоугольным треугольником.

История

Теорему обычно приписывают Евклиду (ок. 360–280 до н. э.), который сформулировал ее как следствие предложения 8 в книге VI своих «Начал» . В предложении 14 книги II Евклид дает метод возведения в квадрат прямоугольника, который по существу соответствует приведенному здесь методу. Однако Евклид предлагает другое, немного более сложное доказательство правильности конструкции, вместо того, чтобы полагаться на теорему о среднем геометрическом. ^[1]^[3]

Доказательство

По принципу сходства

$\triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC$

Доказательство теоремы :

Треугольники $△ ADC, △ BCD$ подобны , так как:

рассмотрим треугольники $△ ABC, △ ACD$ ; здесь у нас есть $\angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;$ следовательно, согласно постулату АА $\triangle ABC\sim \triangle ACD.$
далее рассмотрим треугольники $△ ABC, △ BCD$ ; здесь у нас есть $\angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;$ следовательно, согласно постулату АА $\triangle ABC\sim \triangle BCD.$

Следовательно, оба треугольника $△ ACD, △ BCD$ подобны $△ ABC$ и себе, т.е. $\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.$

Из-за сходства мы получаем следующее равенство отношений, а его алгебраическая перестановка дает теорему: ^[1]

{\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)

Доказательство обратного:

Обратно имеем треугольник $△ ABC$ , в котором $h^{2}=pq$ выполняется и нужно доказать, что угол $C$ является прямым. Теперь из-за $h^{2}=pq$ у нас также есть ${\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.$ Вместе с $\angle ADC=\angle CDB$ треугольники $△ ADC, △ BDC$ имеют углы равной величины и соответствующие пары катетов с одинаковым соотношением сторон. Это означает, что треугольники подобны, что дает:

{\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}

На основе тригонометрического соотношения

$\tan \alpha \cdot \tan \beta ={\frac {h}{p}}\cdot {\frac {h}{q}}\,\implies \tan \alpha \cdot \cot \alpha ={\frac {h}{pq}}\implies 1={\frac {h^{2}}{pq}}\implies h={\sqrt {pq}}$

На основе теоремы Пифагора

В рамках теоремы о среднем геометрическом есть три прямоугольных треугольника $△ ABC$ , $△ ADC$ и $△ DBC,$ в которых теорема Пифагора дает:

{\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}

Добавление первых двух двух уравнений, а затем использование третьего приводит к:

{\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq.\end{aligned}}

что в конечном итоге дает формулу теоремы о среднем геометрическом. ^[4]

На основе рассечения и перестановки

Разрез прямоугольного треугольника по высоте $h$ дает два подобных треугольника, которые можно увеличить и расположить двумя альтернативными способами в больший прямоугольный треугольник с перпендикулярными сторонами длин $p + h$ и $q + h$ . Для одного такого устройства требуется квадрат площадью $h. 2$ для завершения другой — прямоугольник площадью $pq$ . Поскольку оба расположения дают один и тот же треугольник, площади квадрата и прямоугольника должны быть одинаковыми.

На основе карт сдвига

Квадрат высоты можно преобразовать в прямоугольник равной площади со сторонами $p$ и $q$ с помощью трех сдвиговых отображений (сдвиговые отображения сохраняют площадь):

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и *Хартмут Веллштейн, Питер Кирше: Элементарная геометрия . Спрингер, 2009 г., ISBN 9783834808561 , стр. 76–77 (немецкий язык, онлайн-копия , стр. 76, в Google Книгах )
^ Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений . МАА 2011, ISBN 9780883853528 , стр. 31–32 ( онлайн-копия , стр. 31, в Google Книгах )
^ Евклид : Элементы , книга II – реквизит. 14, книга VI – pro6767800hshockedmake,me uoppppp. 8, ( онлайн-копия )
^ Илка Агрикола , Томас Фридрих: Элементарная геометрия . АМС 2008, ISBN 9780821843475 , с. 25 ( онлайн-копия , стр. 25, в Google Книгах )

Внешние ссылки

Среднее геометрическое при разрезании узла

[HW-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и *Хартмут Веллштейн, Питер Кирше: Элементарная геометрия . Спрингер, 2009 г., ISBN 9783834808561 , стр. 76–77 (немецкий язык, онлайн-копия , стр. 76, в Google Книгах )

[2] Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений . МАА 2011, ISBN 9780883853528 , стр. 31–32 ( онлайн-копия , стр. 31, в Google Книгах )

[3] Евклид : Элементы , книга II – реквизит. 14, книга VI – pro6767800hshockedmake,me uoppppp. 8, ( онлайн-копия )

[4] Илка Агрикола , Томас Фридрих: Элементарная геометрия . АМС 2008, ISBN 9780821843475 , с. 25 ( онлайн-копия , стр. 25, в Google Книгах )

[1]

[2]

[3]

[4]