Диофант II.VIII

Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта ) состоит в том , ( ок. 200/214 н. э. – ок. 284/298 н. э. чтобы разделить квадрат на сумму двух квадратов.

Решение, данное Диофантом [ править ]

Диофант принимает квадрат равным 16 и решает задачу следующим образом: ^[1]

Разделить данный квадрат на сумму двух квадратов.
Разделить 16 на сумму двух квадратов.
Пусть первое слагаемое $x^{2}$ , и, таким образом, второй $16-x^{2}$ . Последний должен быть квадратным. Я составляю квадрат разности произвольного кратного х, уменьшенного на корень [из] 16, то есть уменьшенного на 4. Я составляю, например, квадрат 2 х - 4. Это $4x^{2}+16-16x$ . Я положил это выражение равным $16-x^{2}$ . добавляю в обе стороны $x^{2}+16x$ и вычитаем 16. Таким образом я получаю $5x^{2}=16x$ , следовательно $x=16/5$ .
Таким образом, одно число — 256/25, а другое — 144/25. Сумма этих чисел равна 16, и каждое слагаемое представляет собой квадрат.

Геометрическая интерпретация

Геометрически мы можем проиллюстрировать этот метод, нарисовав круг x ² + и ² = 4 ² и линия y = 2 x - 4. Тогда искомая пара квадратов равна x ₀² и у ₀², где ( x ₀ , y ₀ ) — точка не на оси y , где пересекаются линия и круг. Это показано на соседней диаграмме.

Обобщение решения Диофанта [ править ]

Мы можем обобщить решение Диофанта, чтобы решить задачу для любого заданного квадрата, который мы алгебраически представим в виде ². Кроме того, поскольку Диофант ссылается на произвольное кратное x , мы возьмем произвольное кратное за tx . Затем:

{\begin{aligned}&(tx-a)^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Rightarrow \ \ &t^{2}x^{2}-2atx+a^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Rightarrow \ \ &x^{2}(t^{2}+1)=2atx\\\Rightarrow \ \ &x={\frac {2at}{t^{2}+1}}{\text{ or }}x=0.\\\end{aligned}}

Таким образом, мы находим, что одно из слагаемых есть $x^{2}=\left({\tfrac {2at}{t^{2}+1}}\right)^{2}$ а другой $(tx-a)^{2}=\left({\tfrac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right)^{2}$ . Сумма этих чисел равна $a^{2}$ и каждое слагаемое представляет собой квадрат. Геометрически мы пересекли окружность x ² + и ² = а ² с линией y = tx - a , как показано на соседней диаграмме. ^[2] Записав длины OB, OA и AB сторон треугольника OAB в виде упорядоченного набора, получим тройку

\left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]

.

Конкретный результат, полученный Диофантом, можно получить, приняв a = 4 и t = 2:

\left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]=\left[{\frac {20}{5}};{\frac {16}{5}};{\frac {12}{5}}\right]={\frac {4}{5}}\left[5;4;3\right].

Мы видим, что частное решение Диофанта на самом деле представляет собой тонко замаскированную тройку (3, 4, 5). Однако, поскольку тройка всегда будет рациональной, пока a и t рациональны, мы можем получить бесконечное количество рациональных троек, изменив значение t и, следовательно, изменив значение произвольного кратного x .

Этому алгебраическому решению нужен всего лишь один дополнительный шаг, чтобы прийти к платоновской последовательности. $[{\tfrac {t^{2}+1}{2}};t;{\tfrac {t^{2}-1}{2}}]$ и это значит умножить все стороны приведенной выше тройки на коэффициент $\quad {\tfrac {t^{2}+1}{2a}}$ . Заметим также, что если a = 1, стороны [OB, OA, AB] уменьшаются до

\left[1;{\frac {2t}{t^{2}+1}};{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}\right].

В современных обозначениях это просто $(1,\sin \theta ,\cos \theta ),$ для θ, показанного на графике выше, записанного через котангенс t θ/2. В конкретном примере, данном Диофантом, t имеет значение 2, произвольный множитель x . После очистки знаменателей это выражение будет генерировать пифагоровы тройки . Любопытно, что произвольный множитель x стал краеугольным камнем генератора выражений.

Диофант II.IX достигает того же решения еще более быстрым путем, который очень похож на «обобщенное решение», приведенное выше. Еще раз задача состоит в том, чтобы разделить 16 на два квадрата. ^[3]

Пусть первое число равно N , а второе — произвольное кратное N , уменьшенное на корень (из) 16. Например, 2 N − 4. Тогда:

${\begin{aligned}&N^{2}+(2N-4)^{2}=16\\\Rightarrow \ \ &5N^{2}+16-16N=16\\\Rightarrow \ \ &5N^{2}=16N\\\Rightarrow \ \ &N={\frac {16}{5}}\\\end{aligned}}$

Знаменитый комментарий Ферма , который позже стал Великой теоремой Ферма, находится между «Quaestio VIII» и «Quaestio IX» на странице 61 издания «Арифметики» 1670 года.

См. также [ править ]

Великая теорема Ферма и Диофант II.VIII

Ссылки [ править ]

^ Арифметика , Диофант . Книга II, задача 8. В перефразировании на с. 24, Диофант и диофантовы уравнения , Изабелла Григорьевна Башмакова , в редакции Джозефа Сильвермана, тр. с русского Эйб Шенитцер и Харди Грант. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1997. ISBN 0-88385-526-7 . Ориг. паб. Москва: Науке, 1972. В цитате исправлена опечатка.
^ Bashmakova, pp. 24–25.
^ Это решение II.IX в нумерации Диофанта Александрийского: Исследование истории греческой алгебры , сэр Томас Литтл Хит, Кембридж: University of Cambridge Press , изд. и переведен Полом Таннери , Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, 1893 г., это часть II.VIII.

[1] Арифметика , Диофант . Книга II, задача 8. В перефразировании на с. 24, Диофант и диофантовы уравнения , Изабелла Григорьевна Башмакова , в редакции Джозефа Сильвермана, тр. с русского Эйб Шенитцер и Харди Грант. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1997. ISBN 0-88385-526-7 . Ориг. паб. Москва: Науке, 1972. В цитате исправлена опечатка.

[2] Bashmakova, pp. 24–25.

[3] Это решение II.IX в нумерации Диофанта Александрийского: Исследование истории греческой алгебры , сэр Томас Литтл Хит, Кембридж: University of Cambridge Press , изд. и переведен Полом Таннери , Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, 1893 г., это часть II.VIII.

[1]

[2]

[3]

Решение, данное Диофантом [ править ]

Геометрическая интерпретация ​ ​

Обобщение решения Диофанта [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Геометрическая интерпретация