Диофант и диофантовы уравнения

Диофант и диофантовые уравнения — книга по истории математики , посвященная истории диофантовых уравнений и их решения Диофанта Александрийского . Первоначально оно было написано на русском языке Изабеллой Башмаковой и опубликовано в журнале «Наука» в 1972 году под названием «Дифант и диофантовые уравнения» . Он был переведен на немецкий язык Людвигом Боллом как «Диофант и диофантовые уравнения» ( Birkhäuser , 1974). и на английский язык Эйба Шеницера как « Диофант и диофантовые уравнения» (Dolciani Mathematical Expositions 20, Mathematical Association of America , 1997).

Темы

В том смысле, который рассматривается в книге, диофантово уравнение — это уравнение, записанное с помощью многочленов , коэффициентами которых являются рациональные числа . Эти уравнения необходимо решать, находя значения рациональных чисел для переменных, которые при включении в уравнение делают его истинным. Хотя существует также хорошо разработанная теория целочисленных (а не рациональных) решений полиномиальных уравнений, она не включена в эту книгу.

Диофант Александрийский изучал уравнения этого типа во втором веке нашей эры. Ученые считают, что Диофант находил решения только для конкретных уравнений и не имел методов решения общих семейств уравнений. Например, Герман Ханкель писал о работах Диофанта, что «не видно ни малейшего следа общего, всеобъемлющего метода; каждая проблема требует какого-то специального метода, который отказывается работать даже для наиболее тесно связанных задач». Напротив, тезис книги Башмаковой состоит в том, что Диофант действительно имел общие методы, о чем можно судить по сохранившимся записям его решения этих задач.

В первой главе книги рассказывается, что известно о Диофанте и его современниках, а также дается обзор проблем, опубликованных Диофантом. Во второй главе рассматривается математика, известная Диофанту, включая его развитие отрицательных чисел, рациональных чисел и степеней чисел, а также его философию математики, рассматривающую числа как безразмерные величины , что является необходимым предварительным этапом к использованию неоднородных многочленов . Третья глава знакомит с более современными понятиями алгебраической геометрии, включая степень и род алгебраической кривой , а также рациональные отображения и бирациональную эквивалентность между кривыми.

Главы четвертая и пятая посвящены коническим сечениям и теореме о том, что если на конике имеется хотя бы одна рациональная точка, то их их бесконечно много. В шестой главе рассказывается об использовании секущих линий для создания бесконечного числа точек на кубической плоской кривой , рассматриваемой в современной математике как пример группового закона эллиптических кривых . Глава седьмая посвящена теореме Ферма о суммах двух квадратов и возможности того, что Диофант мог знать некоторую форму этой теоремы. Остальные четыре главы прослеживают влияние Диофанта и его работ через Гипатию и в Европу XIX века, уделяя особое внимание развитию теории эллиптических кривых и их группового закона.

Немецкое издание добавляет дополнительный материал, включая отчет Джозефа Х. Сильвермана о прогрессе в доказательстве Великой теоремы Ферма . Обновленная версия того же материала была включена в английский перевод.

Аудитория и прием

Для чтения этой книги требуется совсем немного математической подготовки. Несмотря на «сомнения по поводу исторических заявлений Башмаковой», рецензент Дэвид Грейвс пишет, что «в эту замечательную маленькую книгу втиснуто огромное количество материала, как математического, так и исторического», и рекомендует ее любому теоретику чисел или исследователю истории математики . Рецензент Алан Осборн также настроен положительно, написав, что он «хорошо составлен, ... предлагает значительную историческую информацию и приглашает читателя изучить большой объем математики».