Диофант
Диофант Александрийский [1] (родился ок. 200–214 гг. Н. Э.; умер ок. 284–298 гг. Н. Э. ) был греческим математиком , автором двух основных работ: « О многоугольных числах» , которая сохранилась неполной, и «Арифметики» в тринадцати книгах. большая часть из них сохранилась и состоит из арифметических задач, которые решаются с помощью алгебраических уравнений . [2]
Диофант был первым греческим математиком , который признал положительные рациональные числа числами, допустив дроби для коэффициентов и решений. Он ввел термин παρισότης (паризоты) для обозначения приблизительного равенства. [3] Этот термин был переведен на латынь как adaequalitas и стал методом адекватности , разработанным Пьером де Ферма для поиска максимумов функций и касательных линий к кривым.
и не самая ранняя, Хотя «Арифметика» она содержит наиболее известное использование алгебраической записи для решения арифметических задач, пришедшее из греческой древности. [4] [2] и некоторые из ее проблем послужили источником вдохновения для последующих математиков, занимавшихся анализом и теорией чисел . [5] В современном использовании диофантовы уравнения представляют собой алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся целочисленные решения. Диофантова геометрия и диофантовы приближения — две другие области теории чисел , названные в его честь.
Биография [ править ]
Диофант родился в греческой семье и, как известно, жил в Александрии , Египет , в римскую эпоху , между 200 и 214 годами нашей эры и 284 или 298 годами нашей эры. [4] [6] [7] [а] Большая часть наших знаний о жизни Диофанта получена из греческой антологии числовых игр и головоломок V века, созданной Метродором . Одна из задач (иногда называемая его эпитафией) гласит:
Здесь лежит Диофант», вот чудо. С помощью художественной алгебры камень сообщает, сколько ему лет: «Бог дал ему детство одну шестую жизни, Еще одну двенадцатую в юности, пока бакенбарды росли; И затем еще на одну седьмую до того, как начался брак; Через пять лет родился новорожденный сын. Увы, дорогое дитя мастера и мудреца. Прожив половину жизни своего отца, холодная судьба забрала его. Утешая свою судьбу наукой чисел в течение четырех лет, он покончил с собой».
Диофанта Из этой загадки следует, что возраст x можно выразить как
- х = х / 6 + х / 12 + х / 7 +5+ х / 2 +4
что дает x значение 84 года. Однако достоверность информации подтвердить невозможно.
В популярной культуре этой головоломкой была головоломка № 142 в «Профессоре Лэйтоне и ящике Пандоры», как одна из самых сложных головоломок в игре, которую нужно было разблокировать, сначала решив другие головоломки.
Арифметика [ править ]
«Арифметика» — основная работа Диофанта и самая выдающаяся работа по досовременной алгебре в греческой математике. Это набор задач, дающих численные решения как определенных, так и неопределенных уравнений . Из первоначальных тринадцати книг, из которых состояла «Арифметика» , сохранились только шесть, хотя есть некоторые, кто считает, что четыре арабские книги, обнаруженные в 1968 году, также принадлежат Диофанту. [12] Некоторые диофантовы задачи из Арифметики были найдены в арабских источниках.
Здесь следует отметить, что Диофант никогда не пользовался в своих решениях общими методами. Герман Ханкель , известный немецкий математик, сделал следующее замечание относительно Диофанта:
У нашего автора (Диофанта) не заметно ни малейшего следа общего, всеобъемлющего метода; каждая проблема требует какого-то специального метода, который отказывается работать даже для наиболее тесно связанных задач. По этой причине современному ученому трудно решить 101-ю задачу даже после изучения 100 решений Диофанта. [13]
История [ править ]
Как и многие другие греческие математические трактаты, Диофант был забыт в Западной Европе в Средние века , поскольку изучение древнегреческого языка и грамотность в целом сильно снизились. Однако сохранившаяся часть греческой арифметики , как и все древнегреческие тексты, переданные в ранний современный мир, была скопирована и, таким образом, известна средневековым византийским ученым. Схолии о Диофанте, написанные византийским греческим ученым Иоанном Хортасменом (1370–1437), сохранились вместе с обширным комментарием, написанным более ранним греческим ученым Максимом Планудесом (1260–1305), который подготовил издание Диофанта в библиотеке монастыря Хора в Византийский Константинополь . [14] Кроме того, некоторая часть Арифметики , вероятно, сохранилась в арабской традиции (см. выше). В 1463 году немецкий математик Региомонтан писал:
Никто еще не перевел с греческого на латынь тринадцать книг Диофанта, в которых сокрыт самый цветок всей арифметики.
Впервые «Арифметика» была переведена с греческого на латынь Бомбелли в 1570 году , но перевод так и не был опубликован. Однако многие задачи Бомбелли позаимствовал для своей книги «Алгебра» . Editio Princeps « Арифметики » было опубликовано в 1575 году Ксиландром . Латинский перевод «Арифметики» , сделанный Баше в 1621 году, стал первым широко доступным латинским изданием. У Пьера де Ферма была копия, он изучил ее и сделал пометки на полях. Более поздний латинский перевод Пола Таннери, сделанный в 1895 году, был назван усовершенствованием Томаса Л. Хита , который использовал его во втором издании своего английского перевода 1910 года.
полей Ферма Хортасменоса Написание и
Издание «Арифметики» Баше 1621 года приобрело известность после того, как Пьер де Ферма свою знаменитую « Последнюю теорему »: написал на полях своего экземпляра
Если целое число n больше 2, то н + б н = с н не имеет решений в ненулевых целых числах a , b и c . У меня есть поистине чудесное доказательство этого утверждения, которое невозможно вместить на полях.
Доказательство Ферма так и не было найдено, и проблема поиска доказательства теоремы оставалась нерешенной на протяжении веков. Доказательство было наконец найдено в 1994 году Эндрю Уайлсом после семилетней работы над ним. Считается, что у Ферма на самом деле не было доказательств, о которых он утверждал. Хотя оригинальная копия, в которой Ферма написал это, сегодня утеряна, сын Ферма отредактировал следующее издание «Диофанта», опубликованное в 1670 году. Хотя в остальном текст уступает изданию 1621 года, аннотации Ферма, включая «Последнюю теорему», были напечатаны. в этой версии.
Ферма был не первым математиком, который так захотел написать в своих заметках на полях Диофанту; византийский ученый Иоанн Хортасмен (1370–1437) написал: «Душа твоя, Диофант, будь с сатаной из-за сложности других твоих теорем и особенно настоящей теоремы» рядом с той же проблемой. [14]
Другие работы [ править ]
, Диофант написал еще несколько книг Помимо «Арифметики» , но до наших дней дошло лишь несколько из них.
Поризмы [ править ]
Сам Диофант ссылается на труд, состоящий из собрания лемм , под названием «Поризмы» (или «Порисматы »), но эта книга совершенно утеряна. [15]
Хотя «Поризмы» утеряны, мы знаем три содержащиеся там леммы, поскольку Диофант ссылается на них в «Арифметике» . Одна лемма гласит, что разность кубов двух рациональных чисел равна сумме кубов двух других рациональных чисел, т.е. для любых a и b , при a > b , существуют c и d , все положительные и рациональные, такой, что
- а 3 − б 3 = с 3 + д 3 .
Многоугольные числа и геометрические элементы [ править ]
Известно также, что Диофант писал о многоугольных числах , что представляло большой интерес для Пифагора и пифагорейцев . Сохранились фрагменты книги о многоугольных числах. [16]
Книга под названием « Предварительные сведения о геометрических элементах» традиционно приписывалась Герою Александрийскому . Недавно его изучал Уилбур Норр , который предположил, что приписывание Герою неверно и что истинный автор — Диофант. [17]
Влияние [ править ]
Работы Диофанта оказали большое влияние на историю. Издания «Арифметики» оказали глубокое влияние на развитие алгебры в Европе в конце XVI — XVII и XVIII веках. Диофант и его работы также оказали влияние на арабскую математику и пользовались большой известностью среди арабских математиков. Работа Диофанта создала основу для работы по алгебре, и фактически большая часть высшей математики основана на алгебре. [18] Насколько он повлиял на Индию, остается предметом споров.
Диофанта считали «отцом алгебры» из-за его вклада в теорию чисел, математических обозначений и самого раннего известного использования синкопированной записи в его серии книг «Арифметика» . [2] Однако это обычно обсуждается, поскольку Аль-Хорезми также был назван «отцом алгебры», тем не менее, оба математика проложили путь современной алгебре.
Диофантовый анализ [ править ]
Сегодня диофантов анализ - это область исследования, в которой ищутся целочисленные (целочисленные) решения уравнений, а диофантовы уравнения - это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся только целочисленные решения. Обычно довольно сложно определить, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Большинство задач в Арифметике приводят к квадратным уравнениям . Диофант рассмотрел три различных типа квадратных уравнений: топор 2 + bx = c , топор 2 = bx + c и ax 2 + с = бх . Причина, по которой у Диофанта было три случая, а сегодня мы имеем только один случай, заключается в том, что он не имел никакого понятия о нуле и избегал отрицательных коэффициентов, считая данные числа a , b , c положительны в каждом из три случая выше. Диофанта всегда удовлетворяло рациональное решение, и он не требовал целого числа, а это значит, что он принимал дроби в качестве решения своих задач. Диофант считал отрицательные или иррациональные решения с квадратным корнем «бесполезными», «бессмысленными» и даже «абсурдными». Приведу один конкретный пример: он называет уравнение 4 = 4 x + 20 «абсурдным», поскольку оно привело бы к отрицательному значению x . Единственное решение — это все, что он искал в квадратном уравнении. Нет никаких свидетельств того, что Диофант вообще осознавал, что у квадратного уравнения может быть два решения. Он также рассмотрел одновременные квадратные уравнения.
Математические обозначения [ править ]
Диофант добился важных успехов в математической записи, став первым человеком, который использовал алгебраическую запись и символику. До него все полностью выписывали уравнения. Диофант ввел алгебраическую символику, в которой использовались сокращенные обозначения для часто встречающихся операций, а также аббревиатуры для обозначения неизвестного и степеней неизвестного. Историк математики Курт Фогель утверждает: [19]
Символика, которую Диофант впервые ввел и, несомненно, придумал сам, предоставила краткий и понятный способ выражения уравнения... Поскольку для слова «равно» используется также сокращение, Диофант сделал фундаментальный шаг от словесной алгебры. к символической алгебре.
Хотя Диофант добился важных успехов в символизме, ему все еще не хватало необходимых обозначений для выражения более общих методов. Это привело к тому, что его работа была больше связана с конкретными проблемами, а не с общими ситуациями. Некоторые из ограничений обозначений Диофанта заключаются в том, что у него были обозначения только для одного неизвестного, а когда проблемы включали более одного неизвестного, Диофант сводился к выражению слов «первое неизвестное», «второе неизвестное» и т. Д. У него также не было символа для общего числа n . Где бы мы написали 12 + 6 н / н 2 − 3 , Диофанту приходится прибегать к конструкциям типа: «…шестикратное число, умноженное на двенадцать, которое делится на разность, на которую квадрат числа превышает три». Алгебре предстояло пройти еще долгий путь, прежде чем можно было записать и кратко решить очень общие задачи.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ↑ Было несколько маргинальных теорий относительно происхождения Диофанта. В наше время некоторые авторы описывают его как возможно араба, еврея, эллинизированного египтянина, [8] или эллинизированный вавилонянин. [9] Некоторые даже утверждали, что Диофант был обращен в христианство . Все эти утверждения считаются безосновательными и спекулятивными. [10] [11] Эти неправильные представления о его происхождении возникают из-за путаницы (например, с Диофантом Арабом ), смешения различных исторических эпох, переноса математических проблем в этнические категории и расистских причин. [11]
Ссылки [ править ]
- ^ Древнегреческий : Diophantos ὁ Αlexandreus , латинизированный : Diophantos ho Alexandreus
- ^ Перейти обратно: а б с Карл Б. Бойер, История математики, второе издание (Wiley, 1991), стр. 228.
- ^ Кац Михаил Георгиевич ; Шапс, Дэвид; Шнайдер, Стив (2013), «Почти равно: метод равенства от Диофанта до Ферма и далее», Perspectives on Science , 21 (3): 283–324, arXiv : 1210.7750 , Bibcode : 2012arXiv1210.7750K , doi : 10.1162/ POSC_a_00101 , S2CID 57569974
- ^ Перейти обратно: а б Исследовательские машины plc. (2004). Словарь научной биографии Хатчинсона . Абингдон, Оксон: Helicon Publishing. п. 312.
Диофант (жил около 270–280 гг. н.э.) Греческий математик, который, решая линейные математические задачи, разработал раннюю форму алгебры.
- ' ^ Д. Мэри, Р. Фламари, К. Тейс и К. Эйм (2016). Математические инструменты для приборов и обработки сигналов в астрономии, том 78–79, 2016 г. Серия публикаций EAS. стр. 73–98. Диофант Александрийский, греческий математик, известный как отец алгебры. Он изучал полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами и целочисленными решениями, называемые диофантовыми уравнениями.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Возрождение и упадок греческой математики» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 178 . ISBN 0-471-54397-7 .
В начале этого периода, также известного как Поздний Александрийский век , мы находим ведущего греческого алгебраиста Диофанта Александрийского, а ближе к его концу появился последний значительный греческий геометр Папп Александрийский.
- ^ Кук, Роджер (1997). «Природа математики» . История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. п. 7 . ISBN 0-471-18082-3 .
Некоторое расширение сферы использования символов произошло в трудах греческого математика III века Диофанта Александрийского, но присутствовал тот же недостаток, что и у аккадцев.
- ^ Виктор Дж. Кац (1998). История математики: Введение , с. 184. Эддисон Уэсли, ISBN 0-321-01618-1 .
«Но что мы действительно хотим знать, так это в какой степени александрийские математики периода с первого по пятый век нашей эры были греками. Конечно, все они писали по-гречески и были частью греческого интеллектуального сообщества Александрии. И большинство современные исследования приходят к выводу, что греческая община сосуществовала [...] Итак, следует ли нам предположить, что Птолемей и Диофант, Папп и Гипатия были этническими греками, что их предки пришли из Греции в какой-то момент в прошлом, но оставались фактически изолированными от египтян ? Конечно, невозможно ответить на этот вопрос однозначно, но исследования папирусов, датируемых первыми веками нашей эры, показывают, что между греческой и египетской общинами имело место значительное количество смешанных браков [...] И это так. Известно, что греческие брачные контракты все больше напоминали египетские. Кроме того, даже с момента основания Александрии небольшое количество египтян было допущено к привилегированным классам города для выполнения многочисленных гражданских ролей. Конечно, в таких случаях египтянам было важно «эллинизироваться», перенять греческие обычаи и греческий язык. Учитывая, что упомянутые здесь александрийские математики действовали через несколько сотен лет после основания города, казалось бы, по крайней мере, одинаково возможным, что они были этническими египтянами и оставались этническими греками. В любом случае неразумно изображать их с чисто европейскими чертами, когда не существует физических описаний».
- ^ Д. М. Бертон (1991, 1995). История математики , Дубьюк, Айова (Wm.C. Brown Publishers).
«Диофант, скорее всего, был эллинизированным вавилонянином».
- ^ Ад Мескенс, Путешествующая математика: судьба арифметики Диофанта (Springer, 2010), стр. 48: «Начиная с 1500 года, более чем через тысячу лет после его смерти, различные авторы размышляли о жизни Диофанта, идентифицируя его как араба, еврея, обращенного грека или эллинизированного вавилонянина. Ни одна из этих характеристик не выдерживает критического анализа. хотя". н. 28: «Здесь может быть некоторая путаница с Диофантом Араном, учителем Либания, жившим во времена правления Юлиана Отступника».
- ^ Перейти обратно: а б Анализ и опровержение этих утверждений см.: Schappacher, Norbert (2005). Диофант Александрийский: текст и его история Научно-исследовательский институт высшей математики.
- ^ Дж. Сезиано (1982). » Диофанта Книги с IV по VII « Арифметики в арабском переводе, приписываемом Кусте ибн Луке Нью-Йорк/Гейдельберг/Берлин: Springer-Verlag. п. 502.
- ^ Ханкель Х., «История математики в древности и средневековье, Лейпциг, 1874 г. (переведено на английский язык Ульрихом Лирехтом в книге «Китайская математика в тринадцатом веке», Dover Publications, Нью-Йорк, 1973 г.).
- ^ Перейти обратно: а б Херрин, Джудит (18 марта 2013 г.). Окраины и метрополия: власть в Византийской империи . Издательство Принстонского университета. п. 322. ИСБН 978-1400845224 .
- ^ Дж. Дж. Тумер; Ревель Нетц. «Диофант» . У Саймона Хорнблауэра; Энтони Спофорт; Эстер Эйдинов (ред.). Оксфордский классический словарь (4-е изд.).
- ^ «Жизнеописание Диофанта» . www-history.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 10 апреля 2018 г.
- ^ Норр, Уилбур: Арифметический стоихейосис: О Диофанте и герое Александрийском, в: История математики, Нью-Йорк, 1993, том 20, № 2, 180-192.
- ^ Сезиано, Жак. «Диофант - Биография и факты» . Британника . Проверено 23 августа 2022 г.
- ^ Курт Фогель, «Дифант Александрийский». в Полном словаре научной биографии, Encyclopedia.com, 2008.
Источники [ править ]
- Аллард, А. «Арифметические схолии Диофанта Александрийского в Matritensis Bibl.Nat.4678 и Ватиканских Gr.191 и 304» Byzantion 53. Брюссель, 1983: 682–710.
- Баше де Мезириак, К. Г. Диофант Александринский Арифметикорум, книга шестая и De numeros multigonulis, книга первая . Париж: Париж, 1621 г.
- Башмакова, Изабелла Григорьевна Диофант. Арифметика и книга многоугольных чисел. Введение и комментарии. Перевод И.Н. Веселовского. Москва: Наука.
- Кристианидис, Дж. «Максим Плануд сюр le sens du terme diophantien «plasmatikon»», History of Science , 6 (1996) 37-41.
- Кристианидис, Дж. «Византийская интерпретация Диофанта», Historia Mathematica , 25 (1998) 22–28.
- Цвалина, Артур. Арифметика Диофанта Александрийского . Геттинген, 1952 год.
- Хит, сэр Томас , Диофант Александрийский: исследование по истории греческой алгебры , Кембридж: издательство Кембриджского университета, 1885, 1910.
- Робинсон, округ Колумбия, и Люк Ходжкин. История математики , Королевский колледж Лондона , 2003.
- Рашид, Рошди. Искусство алгебры Диофанта . ред. Араб. Каир: Национальная библиотека, 1975.
- Рашид, Рошди. Диофант. Арифметика . Том III: Книга IV; Том IV: Книги V – VII, приложение, указатель. Коллекция университетов Франции. Париж (Издательство «Les Belles Lettres»), 1984.
- Сезиано, Джеймс. Диофанта. Арабский текст книг с IV по VII перевода и комментариев Тезис. Провиденс: Университет Брауна, 1975.
- Сезиано, Джеймс. Книги с IV по VII «Арифметики» Диофанта в арабском переводе, приписываемом Кусте ибн Луке , Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90690-8 , дои : 10.1007/978-1-4613-8174-7 .
- Стаматис, Евангелос С. Диофанту Арифметика. Алгебра древних греков. Древний текст-переводы-пояснения . Афины, Издательская организация учебных книг, 1963 г.
- Кожевенный завод, PL Диофант Александрини Opera omnia: cum Graecis commentariis , Lipsiae: In aedibus BG Teubneri, 1893-1895 (онлайн: т. 1 , т. 2 )
- Вер Экке, П. Диофант Александрийский: Шесть книг по арифметике и книга многоугольных чисел , Брюгге: Дескле, Де Брауэр, 1921.
- Вертхайм, Г. Арифметика и запись многоугольных чисел Диофанта Александрийского . Перевод и с примечаниями Г. Вертгейма. Лейпциг, 1890 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Башмакова, Изабелла Г. «Диофант и Ферма», Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), стр. 289–306
- Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения . Москва: 1972. Немецкий перевод: Diophant и Diophantic Gleichungen. Биркхаузер, Базель/Штутгарт, 1974. Английский перевод: Диофант и диофантовые уравнения . Переведено Эйбом Шенитцером при редакционной поддержке Харди Гранта и обновлено Джозефом Сильверманом. Математические выставки Дольчиани, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997.
- Башмакова, Изабелла Г. «Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре», Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
- Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е.И. История диофантового анализа от Диофанта до Ферма . Москва: Наука, 1984.
- Хит, сэр Томас (1981). История греческой математики . Том. 2. Издательство Кембриджского университета: Кембридж.
- Рашид, Рошди, Хаузель, Кристиан. Арифметика Диофанта: историческое и математическое чтение , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, 2013.
- Рашед, Рошди, История классического диофантового анализа: от Абу Камиля до Ферма , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.
- Фогель, Курт (1970). «Дифант Александрийский». Словарь научной биографии . Том. 4. Нью-Йорк: Скрибнер.
Внешние ссылки [ править ]
медиафайлы по теме: Диофанта. Викискладе есть
- О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Диофант» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Загадка Диофанта Эпитафия Диофанта Э. Вейсштейна
- Норберт Шаппахер (2005). Диофант Александрийский: текст и его история
- Обзор «Арифметики» Диофанта Обзор Дж. Сезиано, книги с IV по VII «Арифметики» Диофанта, автор Ян П. Хогендейк
- Латинский перевод 1575 года Вильгельма Ксиландра
- Сканы издания Диофанта Таннери на wilbourhall.org
