Теорема о гномоне

Гномон: $ABFPGD$
Теорема Гномона: зеленая площадь = красная площадь,
$|AHGD|=|ABFI|,\,|HBFP|=|IPGD|$

Теорема о гномоне утверждает, что некоторые параллелограммы , входящие в гномон, имеют площади одинакового размера.

Теорема

В параллелограмме $ABCD$ с точкой $P$ по диагонали $AC$, параллель с $AD$ через $P$ пересекает сторону $CD$ в $G$ и сторона $AB$ в $H$. Аналогично параллель стороне $AB$ через $P$ пересекает сторону $AD$ в $I$ и сторона $BC$ в $F$. Тогда теорема о гномоне утверждает, что параллелограммы $HBFP$ и $IPGD$ имеют равные площади.

Гномон — это название L-образной фигуры, состоящей из двух перекрывающихся параллелограммов. $ABFI$ и $AHGD$. Параллелограммы равной площади $HBFP$ и $IPGD$ называются дополнениями (параллелограммов на диагонали $PFCG$ и $AHPI$).

Доказательство

Доказательство теоремы несложно, если рассмотреть площади главного параллелограмма и двух внутренних параллелограммов вокруг его диагонали:

• во-первых, разница между главным параллелограммом и двумя внутренними параллелограммами в точности равна общей площади двух дополнений;
• во-вторых, все три из них разделены диагональю пополам. Это дает:

$|IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|$

Приложения и расширения

геометрическое изображение деления

Перенос отношения разбиения отрезка AB на отрезок HG: ${\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}$

Теорему о гномоне можно использовать для построения нового параллелограмма или прямоугольника равной площади данному параллелограмму или прямоугольнику с помощью построений линейки и циркуля . Это также позволяет представить деление двух чисел в геометрических терминах, что является важной особенностью для переформулирования геометрических задач в алгебраических терминах. Точнее, если два числа заданы как длины отрезков, можно построить третий отрезок, длина которого соответствует частному этих двух чисел (см. Диаграмму). Другое применение - перенести соотношение разделения одного сегмента линии на другой сегмент линии (разной длины), таким образом разделив этот другой сегмент линии в том же соотношении, что и данный сегмент линии и его раздел (см. Диаграмму).

$\mathbb {A}$ это (нижний) параллелепипед вокруг диагонали с $P$ и его дополнения $\mathbb {B}$, $\mathbb {C}$ и $\mathbb {D}$ иметь одинаковый объем: $|\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |$

Аналогичное утверждение можно сделать и в трех измерениях для параллелепипедов . В этом случае у вас есть точка зрения $P$ на пространственной диагонали параллелепипеда, и вместо двух параллельных прямых у вас есть три плоскости, проходящие через $P$, каждая из которых параллельна граням параллелепипеда. Три плоскости делят параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов; два из них окружают диагональ и встречаются в точке $P$. Теперь к каждому из этих двух параллелепипедов вокруг диагонали прикреплены три из оставшихся шести параллелепипедов, и эти три играют роль дополнений и имеют одинаковый объем (см. Диаграмму).

Общая теорема о вложенных параллелограммах

общая теорема:
зеленая область = синяя область - красная область

Теорема о гномоне является частным случаем более общего утверждения о вложенных параллелограммах с общей диагональю. Для данного параллелограмма $ABCD$ рассмотрим произвольный внутренний параллелограмм $AFCE$ имея $AC$ также по диагонали. Кроме того, существуют два однозначно определенных параллелограмма. $GFHD$ и $IBJF$ стороны которого параллельны сторонам внешнего параллелограмма и имеют общую вершину $F$ с внутренним параллелограммом. Теперь разница площадей этих двух параллелограммов равна площади внутреннего параллелограмма, то есть:

$|AFCE|=|GFHD|-|IBJF|$

Это утверждение дает теорему о гномоне, если посмотреть на вырожденный внутренний параллелограмм. $AFCE$ все вершины которого лежат на диагонали $AC$. Это означает, в частности, для параллелограммов $GFHD$ и $IBJF$, что их общая точка $F$ находится на диагонали и что разность их площадей равна нулю, что и утверждает теорема о гномоне.

Исторические аспекты

Теорема о гномоне была описана еще в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.) и там играет важную роль в выводе других теорем. Оно дано как предложение 43 в Книге I «Элементов», где оно сформулировано как утверждение о параллелограммах без использования термина «гномон». Последнее введено Евклидом как второе определение второй книги «Начал». Дальнейшие теоремы, для которых гномон и его свойства играют важную роль, — это предложение 6 в книге II, предложение 29 в книге VI и предложения с 1 по 4 в книге XIII.

Ссылки

• Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии . Спрингер 2016, ISBN   9783662530344 , стр. 190–191 (немецкий)
• Джордж Эванс: Некоторые из алгебры Евклида . Учитель математики, Vol. 20, № 3 (март 1927 г.), стр. 127–141 ( JSTOR )
• Уильям Дж. Хазард: Обобщения теоремы Пифагора и теоремы Евклида о гномоне . Американский математический ежемесячник, Vol. 36, № 1 (январь 1929 г.), стр. 32–34 ( JSTOR )
• Паоло Виги, Иджино Аскьери: От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга . В: Витторио Капечки, Массимо Бушема, Пьерлуиджи Контуччи, Бруно Д'Амор (редакторы): Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве . Спрингер, 2010 г., ISBN   9789048185818 , стр. 601–610.

Внешние ссылки

• Теорема о гномоне и определение гномона в «Началах» Евклида.