Теорема о гномоне
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Gnomon_theorem.svg/290px-Gnomon_theorem.svg.png)
Теорема Гномона: зеленая площадь = красная площадь,
Теорема о гномоне утверждает, что некоторые параллелограммы, входящие в гномон, имеют площади одинакового размера.
Теорема [ править ]
В параллелограмме с точкой по диагонали , параллель с через пересекает сторону в и сторона в . Аналогично параллель стороне через пересекает сторону в и сторона в . Тогда теорема о гномоне утверждает, что параллелограммы и имеют равные площади. [1] [2]
Гномон — название L-образной фигуры, состоящей из двух перекрывающихся параллелограммов. и . Параллелограммы равной площади и называются дополнениями (параллелограммов на диагонали и ). [3]
Доказательство [ править ]
Доказательство теоремы несложно, если рассмотреть площади главного параллелограмма и двух внутренних параллелограммов вокруг его диагонали:
- во-первых, разница между главным параллелограммом и двумя внутренними параллелограммами в точности равна общей площади двух дополнений;
- во-вторых, все три из них разделены диагональю пополам. Это дает: [4]
Приложения и расширения [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Gnomon_division.svg/290px-Gnomon_division.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Gnomon_streckenteilung.svg/290px-Gnomon_streckenteilung.svg.png)
Теорему о гномоне можно использовать для построения нового параллелограмма или прямоугольника равной площади данному параллелограмму или прямоугольнику с помощью построений линейки и циркуля . Это также позволяет представить деление двух чисел в геометрических терминах, что является важной особенностью для переформулирования геометрических задач в алгебраических терминах. Точнее, если два числа заданы как длины отрезков, можно построить третий отрезок, длина которого соответствует частному этих двух чисел (см. Диаграмму). Другое применение - перенести соотношение разделения одного сегмента линии на другой сегмент линии (разной длины), таким образом разделив этот другой сегмент линии в том же соотношении, что и данный сегмент линии и его раздел (см. Диаграмму). [1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Gnomon3d_1.png/290px-Gnomon3d_1.png)
Аналогичное утверждение можно сделать и в трех измерениях для параллелепипедов . В этом случае у вас есть точка зрения на пространственной диагонали параллелепипеда, и вместо двух параллельных прямых у вас есть три плоскости, проходящие через , каждая из которых параллельна граням параллелепипеда. Три плоскости делят параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов; два из них окружают диагональ и встречаются в точке . Теперь к каждому из этих двух параллелепипедов вокруг диагонали прикреплены три из оставшихся шести параллелепипедов, и эти три играют роль дополнений и имеют одинаковый объем (см. Диаграмму). [2]
Общая теорема о вложенных параллелограммах [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Gnomon_generalisation.svg/290px-Gnomon_generalisation.svg.png)
зеленая область = синяя область - красная область
Теорема о гномоне является частным случаем более общего утверждения о вложенных параллелограммах с общей диагональю. Для данного параллелограмма рассмотрим произвольный внутренний параллелограмм имея также по диагонали. Кроме того, существуют два однозначно определенных параллелограмма. и стороны которого параллельны сторонам внешнего параллелограмма и имеют общую вершину с внутренним параллелограммом. Теперь разница площадей этих двух параллелограммов равна площади внутреннего параллелограмма, то есть: [2]
Это утверждение дает теорему о гномоне, если посмотреть на вырожденный внутренний параллелограмм. все вершины которого лежат на диагонали . Это означает, в частности, для параллелограммов и , что их общая точка находится на диагонали и что разность их площадей равна нулю, что и утверждает теорема о гномоне.
Исторические аспекты [ править ]
Теорема о гномоне была описана еще в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.) и там играет важную роль в выводе других теорем. Оно дано как предложение 43 в Книге I «Элементов», где оно сформулировано как утверждение о параллелограммах без использования термина «гномон». Последнее введено Евклидом как второе определение второй книги «Начал». Дальнейшие теоремы, для которых гномон и его свойства играют важную роль, — это предложение 6 в книге II, предложение 29 в книге VI и предложения с 1 по 4 в книге XIII. [5] [4] [6]
Ссылки [ править ]
- Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии . Спрингер 2016, ISBN 9783662530344 , стр. 190–191 (немецкий)
- Джордж Эванс: Некоторые из алгебры Евклида . Учитель математики, Vol. 20, № 3 (март 1927 г.), стр. 127–141 ( JSTOR )
- Уильям Дж. Хазард: Обобщения теоремы Пифагора и теоремы Евклида о гномоне . Американский математический ежемесячник, Vol. 36, № 1 (январь 1929 г.), стр. 32–34 ( JSTOR )
- Паоло Виги, Иджино Аскьери: От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга . В: Витторио Капечки, Массимо Бушема, Пьерлуиджи Контуччи, Бруно Д'Аморе (редакторы): Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве . Спрингер, 2010 г., ISBN 9789048185818 , стр. 601–610.
Примечания [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии . Спрингер 2016, ISBN 9783662530344 , стр. 190–191.
- ^ Перейти обратно: а б с Уильям Дж. Хазард: Обобщения теоремы Пифагора и теоремы Евклида о гномоне . Американский математический ежемесячник, том 36, вып. 1 (январь 1929 г.), стр. 32–34 ( JSTOR )
- ^ Йоханнес Тропфке : История элементарной математики. Плоская геометрия - Том 4: Плоская геометрия . Уолтер де Грютер, 2011 г., ISBN 9783111626932 , стр. 134–135 (немецкий)
- ^ Перейти обратно: а б Роджер Герц-Фишлер: математическая история золотого числа . Дувр, 2013 г., ISBN 9780486152325 , стр. 35–36 .
- ^ Паоло Виги, Иджино Аскьери: От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга . В: Витторио Капечки, Массимо Бушема, Пьерлуиджи Контуччи, Бруно Д'Аморе (редакторы): Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве . Спрингер, 2010 г., ISBN 9789048185818 , стр. 601–610, в частности стр. 603–606.
- ^ Джордж В. Эванс: Некоторые из алгебры Евклида . Учитель математики, Том 20, вып. 3 (март 1927 г.), стр. 127–141 ( JSTOR )
Внешние ссылки [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)