Аполлонические круги

Эта статья о семействе кругов, имеющих общую радикальную ось , и соответствующем семействе ортогональных кругов. Чтобы узнать о других кругах, связанных с Аполлонием Пергским , см. круги Аполлония .

Некоторые аполлонические круги. Каждый синий круг пересекает каждый красный круг под прямым углом. Каждый красный круг проходит через две точки C и D , а каждый синий круг разделяет эти две точки.

В геометрии такие аполлоновы круги — это два семейства ( карандаши ) кругов, , что каждый круг первого семейства пересекает каждый круг второго семейства ортогонально , и наоборот. Эти круги образуют основу для биполярных координат . Их открыл Аполлоний Пергский , известный греческий геометр .

Определение

Аполлонический круг, биссектрисы угла X дают ${\frac {|CT_{i}|}{|DT_{i}|}}={\frac {|CT_{o}|}{|DT_{o}|}}=r$, должный $\angle T_{i}XT_{o}={\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ }$ а по теореме Фалеса X располагается на полукруге диаметром $CD$

Аполлоновы круги определяются двумя разными способами с помощью отрезка, обозначенного CD .

Каждый круг в первом семействе (синие кружки на рисунке) связан с положительным действительным числом r и определяется как геометрическое место точек X таких, что отношение расстояний от X до C и до D равно r ,

$$\left\{X\ {\Biggl |}\ {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.$$

Для значений r, близких к нулю, соответствующий круг близок к C , а для значений r, близких к ∞ , соответствующий круг близок к D ; для промежуточного значения r = 1 круг вырождается в линию, серединный перпендикуляр к CD . Уравнение, определяющее эти круги как локус, можно обобщить, чтобы определить круги Ферма – Аполлония для более крупных наборов взвешенных точек.

Каждому кругу во втором семействе (красные кружки на рисунке) соответствует угол θ и определяется как геометрическое место точек X таких, что вписанный угол ∠ CXD равен θ ,

$$\left\{X\ {\Bigl |}\ C{\hat {X}}D=\theta \right\}.$$

Сканирование θ от 0 до π генерирует набор всех окружностей, проходящих через две C и D. точки

Две точки пересечения всех красных кругов являются ограничивающими точками пар кругов синего семейства.

Биполярные координаты

Основная статья: Биполярные координаты

Заданный синий круг и заданный красный круг пересекаются в двух точках. Для получения биполярных координат требуется метод, позволяющий указать, какая точка является правильной. Изоптическая дуга - это геометрическое место точек X, которое видит точки C, D под заданным углом ориентации векторов, т.е.

$$\operatorname {isopt} (\theta )=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +2k\pi \right\}.$$

Такая дуга заключена в красный круг и ограничена точками C, D. Оставшаяся часть соответствующего красного круга — это isopt( θ + π ) . Когда нам действительно нужен весь красный круг, необходимо использовать описание с использованием ориентированных углов прямых линий:

$${\text{full red circle}}=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +k\pi \right\}$$

Карандаши кругов

Основная статья: Карандаш (математика) § Карандаш кругов

Оба семейства аполлоновых кругов являются пучками кругов . Каждый из них определяется любыми двумя его членами, называемыми образующими пучка. В частности, один из них представляет собой эллиптический карандаш (красное семейство кругов на рисунке), который определяется двумя образующими, которые проходят друг через друга ровно в двух точках ( C, D ). Другой — гиперболический карандаш (синяя группа кругов на рисунке), определяемый двумя образующими, которые не пересекаются друг с другом ни в одной точке.

Радикальная ось и центральная линия

Любые два из этих кругов внутри карандаша имеют одну и ту же радикальную ось , и все круги в карандаше имеют коллинеарные центры. Любые три и более кругов из одного семейства называются соосными кругами или соосными кругами .

Эллиптический пучок окружностей, проходящий через две точки C, D (набор красных кругов на рисунке), имеет линию CD в качестве радикальной оси. Центры окружностей в этом пучке лежат на биссектрисе CD .Гиперболический пучок, определяемый точками C, D (синие кружки), имеет радикальную ось на серединном перпендикуляре к прямой CD , а центры всех окружностей лежат на прямой CD .

геометрия, ортогональное пересечение и

Инверсия круга преобразует плоскость таким образом, что круги преобразуются в круги, а карандаши кругов — в карандаши кругов. Тип карандаша сохраняется: инверсия эллиптического карандаша — другой эллиптический карандаш, инверсия гиперболического карандаша — другой гиперболический карандаш, инверсия параболического карандаша — другой параболический карандаш.

Сравнительно легко показать с помощью инверсии, что в аполлонических кругах каждый синий круг пересекает каждый красный круг ортогонально, то есть под прямым углом . Инверсия синих аполлонических кругов относительно круга с центром в точке C образованию пучка концентрических кругов с центром в изображении точки D. приводит к каждая из которых содержит изображение D. Та же инверсия преобразует красные круги в набор прямых линий , Таким образом, эта инверсия преобразует биполярную систему координат, определяемую аполлоническими кругами, в полярную систему координат .Очевидно, трансформированные карандаши встречаются под прямым углом. Поскольку инверсия является конформным преобразованием , она сохраняет углы между преобразуемыми кривыми, поэтому исходные аполлоновы круги также встречаются под прямыми углами.

Альтернативно, ортогональное свойство двух карандашей следует из определяющего свойства радикальной оси, заключающегося в том, что из любой точки X на радикальной оси карандаша P длины касательных от X к каждому кругу в P равны. Отсюда следует, что окружность с центром в X и длиной, равной этим касательным, пересекает все окружности из P перпендикулярно. Ту же самую конструкцию можно применить для каждого X на радикальной оси P перпендикулярный P. , образуя еще один пучок окружностей ,

В более общем смысле, для каждого пучка окружностей существует единственный пучок, состоящий из окружностей, перпендикулярных первому пучку. Если один карандаш эллиптический, то перпендикулярный к нему пучок гиперболический, и наоборот; в этом случае два карандаша образуют набор аполлоновых кругов. Пучок окружностей, перпендикулярный параболическому карандашу, также является параболическим; он состоит из окружностей, имеющих одну и ту же общую точку касания, но с перпендикулярной касательной линией в этой точке.

Физика

Было показано, что аполлонические траектории в своем движении сопровождаются вихревыми ядрами или другими определенными псевдоспиновыми состояниями в некоторых физических системах, включающих интерференционные или связанные поля, такие как фотонные или связанные поляритонные волны. Траектории возникают в результате вращения Раби сферы Блоха и ее стереографической проекции на реальное пространство, в котором производится наблюдение.

См. также

• Аполлоний Пергский
• Греческая математика

Ссылки

• Акопян А.В.; Заславский А.А. (2007), Геометрия коник , Математический мир, т. 1, с. 26, Американское математическое общество , стр. 57–62, ISBN.  978-0-8218-4323-9 .
• Пфайфер, Ричард Э.; Ван Хук, Кэтлин (1993), «Круги, векторы и линейная алгебра», Mathematics Magazine , 66 (2): 75–86, doi : 10.2307/2691113 , JSTOR   2691113 .
• Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел: геометрия круга, преобразование Мебиуса, неевклидова геометрия , Дувр, стр. 8–10 .
• Сэмюэл, Пьер (1988), Проективная геометрия , Springer, стр. 40–43 .
• Огилви, К. Стэнли (1990), Экскурсии по геометрии , Дувр, ISBN  0-486-26530-7 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Коаксиальные круги» . Математический мир .
• Дэвид Б. Суровски: Высшая математика для средней школы . п. 31