Геометрия комплексных чисел

«Геометрия комплексных чисел» — учебник по геометрии для студентов бакалавриата , темы которого включают круги , комплексную плоскость , инверсную геометрию и неевклидову геометрию . Она была написана Гансом Швердтфегером и первоначально опубликована в 1962 году как 13-й том серии математических изложений издательства University of Toronto Press . Исправленное издание было опубликовано в 1979 году в серии Dover Books on Advanced Mathematics издательства Dover Publications ( ISBN 0-486-63830-8 ), включая подзаголовки «Геометрия круга», «Преобразование Мебиуса», «Неевклидова геометрия» . Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации предложил включить ее в библиотеки по математике для студентов. ^[1]

Темы

Книга разделена на три главы, соответствующие трем частям ее подзаголовка: геометрия окружности, преобразования Мёбиуса и неевклидова геометрия. Каждый из них разделен на разделы (которые в других книгах назывались бы главами) и подразделы. Основная тема книги — представление евклидовой плоскости как плоскости комплексных чисел и использование комплексных чисел в качестве координат для описания геометрических объектов и их преобразований. ^[1]

Глава, посвященная окружностям, посвящена аналитической геометрии окружностей на комплексной плоскости. ^[2] Он описывает представление кругов с помощью $2\times 2$ Эрмитова матрица , ^[3]^[4] инверсия окружностей , стереографическая проекция , пучки окружностей (некоторые однопараметрические семейства окружностей) и их двухпараметрический аналог, пучки окружностей и перекрестное отношение четырёх комплексных чисел. ^[3]

Глава, посвященная преобразованиям Мёбиуса, является центральной частью книги. ^[4] и определяет эти преобразования как дробные линейные преобразования комплексной плоскости (один из нескольких стандартных способов их определения). ^[1] В него включен материал по классификации этих превращений, ^[2] на характеристических параллелограммах этих преобразований, ^[4] о подгруппах группы преобразований, о повторных преобразованиях, которые либо возвращаются к единице (образуя периодическую последовательность), либо порождают бесконечную последовательность преобразований, и геометрическая характеристика этих преобразований как сохраняющих окружность преобразований комплексной плоскости. ^[3] В этой главе также кратко обсуждаются применения преобразований Мёбиуса для понимания проективности и перспективы проективной геометрии . ^[1]

В главе, посвященной неевклидовой геометрии, темы включают модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости , эллиптическую геометрию , сферическую геометрию и (в соответствии с Феликса Кляйна в программой Эрлангене ) группы преобразований этих геометрий как подгруппы преобразований Мёбиуса. . ^[1]

Эта работа объединяет несколько областей математики с целью расширения связей между абстрактной алгеброй , теорией комплексных чисел, теорией матриц и геометрией. ^[2]^[5]Рецензент Говард Ивс пишет, что по подбору материала и формулировке геометрии книга «во многом отражает работы К. Каратеодори и Э. Картана ». ^[6]

Аудитория и прием

«Геометрия комплексных чисел» написана для студентов старших курсов. ^[6]и его многочисленные упражнения (называемые «примерами») расширяют материал по разделам, а не просто проверяют то, что изучил читатель. ^[4]^[6] Рассматривая оригинальную публикацию, А. В. Гудман и Говард Ивс рекомендовали использовать ее в качестве дополнительного материала для занятий по комплексному анализу . ^[3]^[6] и Гудман добавляет, что «каждый эксперт по классической теории функций должен быть знаком с этим материалом». ^[3] Однако рецензент Дональд Монк задается вопросом, не является ли материал книги слишком специализированным, чтобы вписаться в какой-либо класс, и имеет некоторые незначительные претензии к деталям, которые можно было бы изложить более элегантно. ^[2]

К моменту написания обзора 2015 года Марк Хуначек написал, что «книга имеет явно старомодную атмосферу», из-за чего ее труднее читать, а из-за датированного выбора тем маловероятно, что ее можно будет использовать в качестве основного текста курса. . ^[1] Рецензент Р. П. Берн разделяет опасения Хуначека по поводу читабельности, а также жалуется, что Швердтфегер «последовательно позволяет геометрической интерпретации следовать за алгебраическим доказательством, вместо того, чтобы позволять геометрии играть мотивирующую роль». ^[7] Тем не менее Хуначек повторяет рекомендацию Гудмана и Ивса по его использованию «в качестве дополнительного материала к курсу комплексного анализа». ^[1] и Берн заключает, что «переиздание приветствуется». ^[7]

Связанное чтение

В качестве основы геометрии, рассматриваемой в этой книге, рецензент Р. П. Берн предлагает две другие книги: «Современная геометрия: прямая линия и круг» К. В. Дарелла и «Геометрия: комплексный курс» Дэниела Педо . ^[7]

Другие книги, использующие комплексные числа для аналитической геометрии, включают «Комплексные числа и геометрия» Лян-Шина Хана или «Комплексные числа от А до... Я» Титу Андрееску и Дорин Андрика. Однако «Геометрия комплексных чисел» отличается от этих книг тем, что избегает элементарных конструкций евклидовой геометрии и вместо этого применяет этот подход к концепциям более высокого уровня, таким как инверсия круга и неевклидова геометрия. Еще одна связанная книга, одна из немногих, в которых преобразования Мёбиуса рассматриваются так же подробно, как и «Геометрия комплексных чисел» , — это «Визуальный комплексный анализ» Тристана Нидэма . ^[1]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Хуначек, Марк (май 2015 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Монк, Д. (июнь 1963 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », Труды Эдинбургского математического общества , 13 (3): 258–259, doi : 10.1017/s0013091500010956
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Гудман, AW, «Обзор геометрии комплексных чисел », Mathematical Reviews , MR 0133044
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кроу, Д. У. (март 1964 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », Canadian Mathematical Bulletin , 7 (1): 155–156, doi : 10.1017/S000843950002693X
^ Примроуз, EJF (май 1963 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », The Mathematical Gazette , 47 (360): 170, doi : 10.1017/s0025557200049524 , S2CID 125530808
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ивс, Ховард (декабрь 1962 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », American Mathematical Monthly , 69 (10): 1021, doi : 10.2307/2313225 , JSTOR 2313225
^ Jump up to: ^а ^б ^с Берн, Р.П. (март 1981 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », The Mathematical Gazette , 65 (431): 68–69, doi : 10.2307/3617961 , JSTOR 3617961

Внешние ссылки

Геометрия комплексных чисел (издание 1979 г.) в Интернет-архиве

[hunacek-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Хуначек, Марк (май 2015 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки

[monk-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Монк, Д. (июнь 1963 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », Труды Эдинбургского математического общества , 13 (3): 258–259, doi : 10.1017/s0013091500010956

[goodman-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Гудман, AW, «Обзор геометрии комплексных чисел », Mathematical Reviews , MR 0133044

[crowe-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кроу, Д. У. (март 1964 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », Canadian Mathematical Bulletin , 7 (1): 155–156, doi : 10.1017/S000843950002693X

[primrose-5] Примроуз, EJF (май 1963 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », The Mathematical Gazette , 47 (360): 170, doi : 10.1017/s0025557200049524 , S2CID 125530808

[eves-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ивс, Ховард (декабрь 1962 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », American Mathematical Monthly , 69 (10): 1021, doi : 10.2307/2313225 , JSTOR 2313225

[burn-7] Jump up to: ^а ^б ^с Берн, Р.П. (март 1981 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел », The Mathematical Gazette , 65 (431): 68–69, doi : 10.2307/3617961 , JSTOR 3617961

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]