Эллиптическая геометрия

Эллиптическая геометрия является примером геометрии , Евклида в которой постулат параллельности не выполняется. Вместо этого, как и в сферической геометрии , параллельных линий нет, поскольку любые две линии должны пересекаться. Однако, в отличие от сферической геометрии, обычно предполагается, что две линии пересекаются в одной точке (а не в двух). По этой причине эллиптическую геометрию, описанную в этой статье, иногда называют одинарной эллиптической геометрией , тогда как сферическую геометрию иногда называют двойной эллиптической геометрией .

Появление этой геометрии в XIX веке стимулировало развитие неевклидовой геометрии вообще, в том числе гиперболической .

Эллиптическая геометрия обладает множеством свойств, которые отличаются от свойств классической евклидовой геометрии плоскости. Например, сумма внутренних углов любого треугольника всегда больше 180°.

Определения

В эллиптической геометрии две прямые, перпендикулярные данной прямой, должны пересекаться. Фактически, все перпендикуляры с одной стороны пересекаются в одной точке, называемой абсолютным полюсом этой линии. Перпендикуляры на другой стороне также пересекаются в точке. Однако, в отличие от сферической геометрии, полюса с обеих сторон одинаковы. нет противоположных точек Это связано с тем, что в эллиптической геометрии . Например, в гиперсферической модели (описанной ниже) это достигается за счет того, что «точки» в нашей геометрии фактически представляют собой пары противоположных точек на сфере. Причина этого в том, что это позволяет эллиптической геометрии удовлетворять аксиоме о том, что через любые две точки проходит единственная линия.

Каждая точка соответствует абсолютной полярной линии , абсолютным полюсом которой она является. Любая точка этой полярной линии образует абсолютную сопряженную пару с полюсом . Такая пара точек ортогональна , а расстояние между ними представляет собой квадрант .

Расстояние между парой точек пропорционально углу между их абсолютными полярами.

Как объяснил HSM Coxeter :

Название «эллиптический», возможно, вводит в заблуждение. Никакой прямой связи с кривой, называемой эллипсом, она не предполагает, а лишь довольно надуманную аналогию. Центральная коника называется эллипсом или гиперболой в зависимости от того, не имеет ли она асимптоты или имеет две асимптоты . Аналогично, неевклидова плоскость называется эллиптической или гиперболической в ​​зависимости от того, каждая из ее прямых не содержит ни одной точки на бесконечности или двух точек на бесконечности.

Два измерения

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость — это действительная проективная плоскость, снабженная метрикой . Кеплер и Дезарг использовали гномоническую проекцию , чтобы связать плоскость σ с точками касательного к ней полушария . Когда O является центром полушария, точка P в σ определяет линию OP, пересекающую полусферу, а любая линия L ⊂ σ определяет плоскость OL , которая пересекает полусферу в половине большого круга . Полушарие ограничено плоскостью, проходящей через О и параллельной σ. обычная линия σ Этой плоскости не соответствует ; вместо этого бесконечная линия добавляется к σ . Поскольку любая прямая в этом расширении σ соответствует плоскости, проходящей через O , и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O , можно заключить, что любая пара прямых в расширении пересекается: точка пересечения лежит там, где плоскость пересечение соответствует σ или бесконечной линии. Таким образом, подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая, чтобы все пары прямых на плоскости пересекались.

Учитывая P и Q в σ , эллиптическое расстояние между ними является мерой угла POQ , обычно принимаемого в радианах. Артур Кэли положил начало изучению эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния». За этим предприятием абстракции в геометрии последовали Феликс Кляйн и Бернхард Риман, что привело к неевклидовой геометрии и римановой геометрии .

Сравнение с евклидовой геометрией

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии в двух измерениях.

В евклидовой геометрии фигуру можно увеличивать или уменьшать до бесконечности, и полученные фигуры будут подобны, т. е. имеют одинаковые углы и одинаковые внутренние пропорции. В эллиптической геометрии это не так. Например, в сферической модели мы видим, что расстояние между любыми двумя точками должно быть строго меньше половины окружности сферы (поскольку противоположные точки идентифицируются). Таким образом, сегмент прямой не может масштабироваться бесконечно.

Большая часть евклидовой геометрии переносится непосредственно в эллиптическую геометрию. Например, первый и четвертый постулаты Евклида о том, что между любыми двумя точками существует единственная линия и что все прямые углы равны, справедливы в эллиптической геометрии. Постулат 3 о том, что можно построить круг с любым заданным центром и радиусом, терпит неудачу, если «любой радиус» понимается как «любое действительное число», но остается верным, если он понимается как «длина любого заданного отрезка». Поэтому любой результат евклидовой геометрии, который следует из этих трех постулатов, будет справедливым и в эллиптической геометрии, например, предложение 1 из книги I « Начал» , в котором говорится, что по любому отрезку прямой можно построить равносторонний треугольник с этим отрезком в качестве своего основания.

Эллиптическая геометрия также похожа на евклидову геометрию в том смысле, что пространство непрерывно, однородно, изотропно и не имеет границ. Изотропия гарантируется четвертым постулатом о том, что все прямые углы равны. В качестве примера однородности отметим, что предложение Евклида I.1 подразумевает, что один и тот же равносторонний треугольник может быть построен в любом месте, а не только в местах, которые в некотором роде особенные. Отсутствие границ следует из второго постулата — растяжимости отрезка.

Одно из отличий эллиптической геометрии от евклидовой заключается в том, что сумма внутренних углов треугольника превышает 180 градусов. Например, в сферической модели треугольник может быть построен с вершинами в местах, где три положительные декартовы оси координат пересекают сферу, и все три его внутренних угла составляют 90 градусов, что в сумме дает 270 градусов. Для достаточно маленьких треугольников превышение более 180 градусов можно сделать сколь угодно малым.

Теорема Пифагора не работает в эллиптической геометрии. В описанном выше треугольнике 90–90–90° все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, не удовлетворяют $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Результат Пифагора восстанавливается в пределе малых треугольников.

Отношение длины окружности к ее площади меньше, чем в евклидовой геометрии. В общем, площадь и объем не масштабируются как вторая и третья степени линейных размеров.

Эллиптическое пространство (3D-случай)

Примечание. В этом разделе термин «эллиптическое пространство» используется конкретно для обозначения трехмерной эллиптической геометрии. Это отличается от предыдущего раздела, который был посвящен двумерной эллиптической геометрии. Кватернионы используются для пояснения этого пространства.

Эллиптическое пространство можно построить аналогично построению трехмерного векторного пространства: с помощью классов эквивалентности . Используются направленные дуги на больших кругах сферы. Как направленные отрезки линий равносильны , когда они параллельны, имеют одинаковую длину и одинаково ориентированы, так и направленные дуги, найденные на больших кругах, равносильны, когда они имеют одинаковую длину, ориентацию и одинаковую длину. Эти отношения эквивалентности создают трехмерное векторное пространство и эллиптическое пространство соответственно.

Доступ к эллиптической структуре пространства обеспечивается через векторную алгебру Уильяма Роуэна Гамильтона : он представлял сферу как область квадратных корней из минус единицы. Тогда формула Эйлера $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ (где r находится на сфере) представляет собой большой круг на плоскости, содержащий 1 и r . Противоположные точки r и – r соответствуют противоположно направленным окружностям. Дуга между θ и φ равносильна дуге между 0 и φ – θ. В эллиптическом пространстве длина дуги меньше π, поэтому дуги могут быть параметризованы с помощью θ в [0, π) или (–π/2, π/2).

Для $z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.$ Говорят, что модуль или норма z равен единице (Гамильтон называл его тензором z). Но поскольку r распространяется по сфере в 3-мерном пространстве, exp(θ r) распространяется по сфере в 4-мерном пространстве, которая теперь называется 3-сферой , поскольку ее поверхность имеет три измерения. Гамильтон назвал свою алгебру кватернионами , и она быстро стала полезным и знаменитым инструментом математики. Его четырехмерное пространство развивается в полярных координатах. $t\exp(\theta r),$ с t в положительных действительных числах .

При выполнении тригонометрии на Земле или небесной сфере стороны треугольников представляют собой большие дуги окружностей. Первым успехом кватернионов стал перенос сферической тригонометрии в алгебру. Гамильтон назвал кватернион нормы один версором , и это точки эллиптического пространства.

При фиксированном r версоры

$e^{ar},\quad 0\leq a<\pi$

образуют эллиптическую линию . Расстояние от $e^{ar}$ до 1 - это . Для произвольного версора u расстоянием будет такое θ, для которого cos θ = ( u + u ^∗ )/2, поскольку это формула скалярной части любого кватерниона.

Эллиптическое движение описывается кватернионным отображением

$q\mapsto uqv,$ где u и v — фиксированные версоры.

Расстояния между точками такие же, как между точками изображения эллиптического движения. В случае, когда u и v являются кватернионами, сопряженными друг с другом, движение представляет собой пространственное вращение , а их векторная часть — ось вращения. В случае u = 1 эллиптическое движение называется правым сдвигом Клиффорда или паратаксией . Случай v = 1 соответствует левому сдвигу Клиффорда.

Эллиптические линии, проходящие через версор u, могут иметь вид

$\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace$ или $\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace$ для фиксированного р .

Это правый и левый клиффордовский перевод u вдоль эллиптической прямой через 1.Эллиптическое пространство образовано из S ³ путем определения противоположных точек.

Эллиптическое пространство имеет особые структуры, называемые параллелями Клиффорда и поверхностями Клиффорда .

Точки версора эллиптического пространства отображаются с помощью преобразования Кэли в $\mathbb {R} ^{3}$ для альтернативного представления пространства.

Пространства более высоких измерений

Гиперсферическая модель

Гиперсферическая модель является обобщением сферической модели на более высокие измерения. Точки n -мерного эллиптического пространства — это пары единичных векторов ( x , − x ) в R ^{п +1} , то есть пары противоположных точек на поверхности единичного шара в ( n + 1) -мерном пространстве ( n -мерной гиперсфере). Линии в этой модели представляют собой большие круги , т. е. пересечения гиперсферы с плоскими гиперповерхностями размерности n, проходящими через начало координат.

эллиптическая

точки n -мерного реального проективного пространства В проективной модели эллиптической геометрии в качестве точек модели используются . Это моделирует абстрактную эллиптическую геометрию, также известную как проективная геометрия .

Точки n -мерного проективного пространства можно отождествить с линиями, проходящими через начало координат в ( n + 1) -мерном пространстве, и неоднозначно представить ненулевыми векторами в R. ^{п +1} , при том понимании, что u и λ u для любого ненулевого скаляра λ представляют одну и ту же точку. Расстояние определяется с помощью метрики

$d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);$

то есть расстояние между двумя точками - это угол между соответствующими линиями в R ^{п +1} . Формула расстояния является однородной по каждой переменной: d (λ u , µ v ) = d ( u , v ) , если λ и µ — ненулевые скаляры, поэтому она определяет расстояние в точках проективного пространства.

Примечательным свойством проективной эллиптической геометрии является то, что для четных измерений, таких как плоскость, геометрия неориентируема . Он стирает различие между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки, идентифицируя их.

Стереографическая модель

Модель, представляющую то же пространство, что и гиперсферическая модель, может быть получена с помощью стереографической проекции . Пусть Е ^н представляют R ^н ∪ {∞}, то есть n -мерное реальное пространство, расширенное одной точкой на бесконечности. Мы можем определить метрику, хордальную метрику , на Э ^н к

$\delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}$

где u и v — любые два вектора из R ^н и $\|\cdot \|$ – обычная евклидова норма. Мы также определяем

$\delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.$

В результате получается метрическое пространство на E ^н , которое представляет собой расстояние по хорде соответствующих точек гиперсферической модели, на которое оно биективно отображается с помощью стереографической проекции. Мы получим модель сферической геометрии, если воспользуемся метрикой

$d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).$

Эллиптическая геометрия получается из этого путем отождествления противоположных точек u и − u / ‖ u ‖ ² и приняв расстояние от v до этой пары за минимальное из расстояний от v до каждой из этих двух точек.

Самосогласованность

Поскольку сферическую эллиптическую геометрию можно смоделировать, например, как сферическое подпространство евклидова пространства, из этого следует, что если евклидова геометрия самосогласована, то и сферическая эллиптическая геометрия является самосогласованной. Поэтому доказать постулат о параллельности на основе остальных четырех постулатов евклидовой геометрии невозможно.

Тарский доказал, что элементарная евклидова геометрия является полной : существует алгоритм, который для каждого предложения может показать, что оно истинно или ложно. (Это не нарушает теорему Гёделя , поскольку евклидова геометрия не может описать достаточное количество арифметики для применения этой теоремы. ) Отсюда следует, что элементарная эллиптическая геометрия также самосогласована и полна.

См. также

• Эллиптическая мозаика
• Сферическая черепица

Ссылки

• Алан Ф. Бирдон, Геометрия дискретных групп , Springer-Verlag, 1983.
• HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , главы 5, 6 и 7: Эллиптическая геометрия в 1, 2 и 3 измерениях, University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN   0-88385-522-4 .
• HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , §6.9 Эллиптическая плоскость, стр. 92–95. Джон Уайли и сыновья .
• «Эллиптическая геометрия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Феликс Кляйн (1871) «О так называемой неевклидовой геометрии» Mathematische Annalen 4:573–625, переведено и представлено в книге Джона Стиллвелла (1996) «Источники гиперболической геометрии» , Американское математическое общество. ISBN   0-8218-0529-0 .
• Борис Оденал "Об изотропных конгруэнциях прямых в эллиптическом трехмерном пространстве"
• Эдуард Этюд (1913) переводчик Д. Х. Дельфениха, «Основы и задачи аналитической кинематики» , стр. 20.
• Альфред Тарский (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии . унив. из Калифорнии Пресс.
• Францен, Торкель (2005). Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблениям . АК Петерс. ISBN  1-56881-238-8 .
• Альфред Норт Уайтхед (1898). Универсальная алгебра. Архивировано 3 сентября 2014 г. в Wayback Machine , Книга VI, Глава 2: Эллиптическая геометрия, стр. 371–98.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с эллиптической геометрией, на Викискладе?