Равнополость (геометрия)

Символ равенства

В евклидовой геометрии равновесность представляет собой бинарное отношение между направленными отрезками прямых . Отрезок AB, идущий из точки A в точку B, имеет направление, противоположное отрезку BA . Два параллельных отрезка линии равноправны, если они имеют одинаковую длину и направление.

Свойство параллелограмма

Если отрезки AB и CD равноправны, то AC и BD также равноправны.

Свойством евклидовых пространств является свойство параллелограмма векторов:Если два отрезка равноправны, то они образуют две стороны параллелограмма :

Если данный вектор выполняется между a и b , c и d , то вектор, который выполняется между a и c, такой же, как тот, который выполняется между b и d .

- Бертран Рассел , «Принципы математики» , стр. 432.

История

Концепция равнополюсных отрезков была выдвинута Джусто Беллавитисом в 1835 году. Впоследствии термин вектор был принят для обозначения класса равнополюсных отрезков. Использование Беллавитисом идеи отношения для сравнения разных, но похожих объектов стало распространенным математическим методом, особенно при использовании отношений эквивалентности . Беллавитис использовал специальные обозначения для обозначения равенства отрезков AB и CD :

$AB\bumpeq CD.$

Следующие отрывки, переведенные Майклом Дж. Кроу , демонстрируют предвкушение Беллавитисом векторных концепций:

Равновесия продолжают сохраняться, если заменить линии в них другими линиями, которые им соответственно равносильны, как бы они ни находились в пространстве. Отсюда можно понять, как можно сложить любое число и любые виды линий и что в каком бы порядке ни были взяты эти линии, будет получена одна и та же равноценная сумма...

В равновесиях, как и в уравнениях, прямая может быть перенесена с одной стороны на другую при условии изменения знака...

Таким образом, противоположно направленные сегменты являются негативами друг друга: $AB+BA\bumpeq 0.$

Равновесие $AB\bumpeq n.CD,$ где n означает положительное число, указывает, что AB параллелен и имеет то же направление, что и , и что их длины имеют соотношение, выраженное соотношением AB = n.CD. CD

Отрезок от A до B является связанным вектором , а класс эквивалентных ему отрезков является свободным вектором , на языке евклидовых векторов .

Расширение

Геометрическое равноправие также используется на сфере:

Чтобы оценить метод Гамильтона , давайте сначала вспомним гораздо более простой случай абелевой группы сдвигов в евклидовом трехмерном пространстве. Каждое перемещение можно представить в виде вектора в пространстве, причем значимыми являются только направление и величина, а местоположение не имеет значения. Композиция двух переводов определяется правилом сложения векторов параллелограмма «голова к хвосту»; и принятие обратных сумм для изменения направления. В теории поворотов Гамильтона мы имеем обобщение такой картины с абелевой группы сдвига на неабелеву SU(2) . Вместо векторов в пространстве мы имеем дело с направленными дугами большого круга длиной < π на единичной сфере S. ² в евклидовом трехмерном пространстве. Две такие дуги считаются эквивалентными, если, сдвинув одну по большому кругу, можно совместить ее с другой.

На большом круге сферы две направленные дуги окружности равноправны, если они совпадают по направлению и длине. Класс эквивалентности таких дуг связан с кватернионным версором

$\exp(ar)=\cos a+r\sin a,$ где a — длина дуги, а r определяет плоскость большого круга по перпендикулярности.

Абстракция

Основная статья: Аффинное пространство

Свойства классов эквивалентности равнополюсных сегментов можно абстрагировать для определения аффинного пространства :

Если A — множество точек, а V — векторное пространство , то ( A, V ) — аффинное пространство при условии, что для любых двух точек a,b в A существует вектор ${\overrightarrow {ab}}$ в V , и для любых a в A и v в V существует b в A такой, что ${\overrightarrow {ab}}=v,$ и для любых трех точек из A существует векторное уравнение

${\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}.$

Очевидно, это развитие зависит от предыдущего введения в абстрактные векторные пространства, в отличие от введения векторов через классы эквивалентности направленных отрезков.

Ссылки

• Джусто Беллавитис (1835) «Очерк применения нового метода аналитической геометрии (расчет равновесий)», Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Джусто Беллавитис (1854 г.) «Изложение метода эквивалентности» , ссылка из Google Books .

• Шарль-Анж Лесан (1874 г.): французский перевод с дополнениями Беллавитиса (1854 г.). Изложение метода эквиполленций , ссылка из Google Books .

• Джусто Беллавитис (1858 г.) Расчет кватернионов У. Р. Гамильтона и его связь с методом эквиполленций , ссылка с сайта HathiTrust.
• Шарль-Анж Лесан (1887) «Теория и приложения равенства» , Готье-Виллар, ссылка из Мичиганского университета . коллекции исторической математики
• Лена Л. Северанс (1930) Теория эквивалентности; Метод аналитической геометрии Сиг. Беллавитис , ссылка с сайта HathiTrust.