Выпуклая геометрия

Эта статья посвящена изучению выпуклых множеств. Для комбинаторных систем множеств см. антиматроид .

В математике выпуклая геометрия — раздел геометрии, изучающий выпуклые множества , преимущественно в евклидовом пространстве . Выпуклые множества естественным образом встречаются во многих областях: вычислительная геометрия , выпуклый анализ , дискретная геометрия , функциональный анализ , геометрия чисел , интегральная геометрия , линейное программирование , теория вероятностей , теория игр и т. д.

Классификация [ править ]

Согласно предметной классификации математики MSC2010, [1] Математическая дисциплина «Выпуклая и дискретная геометрия» включает три основных раздела: [2]

  • общая выпуклость
  • многогранники и многогранники
  • дискретная геометрия

(хотя в выпуклую геометрию включены только части последних двух).

Общая выпуклость подразделяется следующим образом: [3]

  • аксиоматическая и обобщенная выпуклость
  • выпуклые множества без ограничений на размерность
  • выпуклые множества в топологических векторных пространствах
  • выпуклые множества в двух измерениях (включая выпуклые кривые)
  • выпуклые множества в трех измерениях (включая выпуклые поверхности)
  • выпуклые множества в n измерениях (включая выпуклые гиперповерхности)
  • конечномерные банаховы пространства
  • случайные выпуклые множества и интегральная геометрия
  • асимптотическая теория выпуклых тел
  • аппроксимация выпуклыми множествами
  • варианты выпуклых множеств (звездообразные, ( m, n )-выпуклые и т. д.)
  • Теоремы типа Хелли и геометрическая теория трансверсалей
  • другие проблемы комбинаторной выпуклости
  • длина, площадь, объём
  • смешанные тома и связанные темы
  • оценки на выпуклых телах
  • неравенства и экстремальные задачи
  • выпуклые функции и выпуклые программы
  • сферическая и гиперболическая выпуклость

Историческая справка [ править ]

Выпуклая геометрия — сравнительно молодая математическая дисциплина. Хотя первые известные вклады в выпуклую геометрию относятся к античности и их можно проследить в работах Евклида и Архимеда , на рубеже 20-го века она стала самостоятельной отраслью математики, главным образом благодаря работам Германа Брунна и Германа Минковского. в измерениях два и три. Большая часть их результатов вскоре была обобщена на пространства более высоких размерностей, а в 1934 году Т. Боннесен и В. Фенхель дали исчерпывающий обзор выпуклой геометрии в евклидовом пространстве R. н . Дальнейшее развитие выпуклой геометрии в 20 веке и ее связь с многочисленными математическими дисциплинами обобщены в Справочнике по выпуклой геометрии под редакцией П. М. Грубера и Дж. М. Уиллса.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Веб-сайт предметной классификации математики MSC2010
  2. ^ Классификация предметов по математике MSC2010, запись 52 «Выпуклая и дискретная геометрия»
  3. ^ Классификация предметов математики MSC2010, запись 52A «Общая выпуклость»

Ссылки [ править ]

Разъяснительные статьи по выпуклой геометрии

  • К. Болл, Элементарное введение в современную выпуклую геометрию, в: Flavors of Geometry, стр. 1–58, Math. наук. Рез. Инст. Опубл. Том. 31, Кембриджский университет. Press, Cambridge, 1997, доступно в Интернете .
  • Бергер М., Выпуклость, Амер. Математика. Ежемесячно, Том. 97 (1990), 650–678. дои: 10.2307/2324573
  • П. М. Грубер, Аспекты выпуклости и ее применения, Изложение. Матем., Том. 2 (1984), 47–83.
  • В. Клее. Что такое выпуклое множество? амер. Математика. Ежемесячно, Том. 78 (1971), 616–631, doi:10.2307/2316569

Книги по выпуклой геометрии

  • Т. Боннесен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел, Юлиус Спрингер, Берлин, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ID, 1987.
  • Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995. Второе издание: 2006 г.
  • П. М. Грубер , Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
  • П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А.Б., Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
  • Г. Пизье, Объем выпуклых тел и геометрия банахового пространства, Cambridge University Press, Кембридж, 1989.
  • Р. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993; Второе издание: 2014 г.
  • А.С. Томпсон, Геометрия Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1996.

Статьи по истории выпуклой геометрии

  • В. Фенхель, Выпуклость на протяжении веков, (Датское) Датское математическое общество (1929–1973), стр. 103–116, Dansk. Мат. Форенинг, Копенгаген, 1973. Английский перевод: Выпуклость на протяжении веков, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Выпуклость и ее приложения, стр. 120–130, Birkhauser Verlag, Базель, 1983.
  • П. М. Грубер, К истории выпуклой геометрии и геометрии чисел, в: Г. Фишер и др. (редакторы), Век математики 1890–1990, стр. 421–455, Documents Gesch. Математика, Том 6, Ф. Вивег и Зон, Брауншвейг; Немецкая ассоциация математиков, Фрайбург, 1990.
  • П. М. Грубер, История выпуклости, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А, стр. 1–15, Северная Голландия, Амстердам, 1993.

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Convex_geometry&oldid=1215564258"