Выпуклая геометрия

Эта статья посвящена изучению выпуклых множеств. Для комбинаторных систем множеств см. антиматроид .

В математике изучающий выпуклая геометрия — раздел геометрии, выпуклые множества , преимущественно в евклидовом пространстве . Выпуклые множества естественным образом встречаются во многих областях: вычислительная геометрия , выпуклый анализ , дискретная геометрия , функциональный анализ , геометрия чисел , интегральная геометрия , линейное программирование , теория вероятностей , теория игр и т. д.

Классификация

Согласно Предметной классификации математики MSC2010, Математическая дисциплина «Выпуклая и дискретная геометрия» включает три основных раздела:

• общая выпуклость
• многогранники и многогранники
• дискретная геометрия

(хотя в выпуклую геометрию включены только части последних двух).

Общая выпуклость подразделяется следующим образом:

• аксиоматическая и обобщенная выпуклость
• выпуклые множества без ограничений на размерность
• выпуклые множества в топологических векторных пространствах
• выпуклые множества в двух измерениях (включая выпуклые кривые)
• выпуклые множества в трех измерениях (включая выпуклые поверхности)
• выпуклые множества в n измерениях (включая выпуклые гиперповерхности)
• конечномерные банаховы пространства
• случайные выпуклые множества и интегральная геометрия
• асимптотическая теория выпуклых тел
• аппроксимация выпуклыми множествами
• варианты выпуклых множеств (звездообразные, ( m, n )-выпуклые и т. д.)
• Теоремы типа Хелли и геометрическая теория трансверсалей
• другие проблемы комбинаторной выпуклости
• длина, площадь, объём
• смешанные тома и связанные темы
• оценки на выпуклых телах
• неравенство и экстремальные проблемы
• выпуклые функции и выпуклые программы
• сферическая и гиперболическая выпуклость

Историческая справка

Выпуклая геометрия — сравнительно молодая математическая дисциплина. Хотя первые известные вклады в выпуклую геометрию относятся к античности и их можно проследить в работах Евклида и Архимеда , на рубеже 20-го века она стала самостоятельной отраслью математики, главным образом благодаря работам Германа Брунна и Германа Минковского. в измерениях два и три. Большая часть их результатов вскоре была обобщена на пространства более высоких размерностей, а в 1934 году Т. Боннесен и В. Фенхель дали исчерпывающий обзор выпуклой геометрии в евклидовом пространстве R. ^н . Дальнейшее развитие выпуклой геометрии в 20 веке и ее связь с многочисленными математическими дисциплинами обобщены в Справочнике по выпуклой геометрии под редакцией П. М. Грубера и Дж. М. Уиллса.

См. также

• Список тем, посвященных выпуклости

Ссылки

Разъяснительные статьи по выпуклой геометрии

• К. Болл, Элементарное введение в современную выпуклую геометрию, в: Flavors of Geometry, стр. 1–58, Math. наук. Рез. Инст. Опубл. Том. 31, Кембриджский университет. Press, Cambridge, 1997, доступно в Интернете .
• Бергер М., Выпуклость, Амер. Математика. Ежемесячно, Том. 97 (1990), 650–678. дои: 10.2307/2324573
• П. М. Грубер, Аспекты выпуклости и ее применения, Изложение. Матем., Том. 2 (1984), 47–83.
• В. Клее. Что такое выпуклое множество? амер. Математика. Ежемесячно, Том. 78 (1971), 616–631, doi:10.2307/2316569

Книги по выпуклой геометрии

• Т. Боннесен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел, Юлиус Спрингер, Берлин, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ID, 1987.
• Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995. Второе издание: 2006 г.
• П. М. Грубер , Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
• П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А.Б., Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
• Г. Пизье, Объем выпуклых тел и геометрия банахового пространства, Cambridge University Press, Кембридж, 1989.
• Р. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993; Второе издание: 2014 г.
• А.С. Томпсон, Геометрия Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1996.

Статьи по истории выпуклой геометрии

• В. Фенхель, Выпуклость на протяжении веков, (Датское) Датское математическое общество (1929–1973), стр. 103–116, Dansk. Мат. Форенинг, Копенгаген, 1973. Английский перевод: Выпуклость на протяжении веков, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Выпуклость и ее приложения, стр. 120–130, Birkhauser Verlag, Базель, 1983.
• П. М. Грубер, К истории выпуклой геометрии и геометрии чисел, в: Г. Фишер и др. (редакторы), Век математики 1890–1990, стр. 421–455, Documents Gesch. Математика, Том 6, Ф. Вивег и Зон, Брауншвейг; Немецкая ассоциация математиков, Фрайбург, 1990.
• П. М. Грубер, История выпуклости, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А, стр. 1–15, Северная Голландия, Амстердам, 1993.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с выпуклой геометрией, на Викискладе?