Преобразование Кэли

В математике , преобразование Кэли названное в честь Артура Кэли , представляет собой любую группу связанных вещей. Как первоначально описано Кэли (1846) , преобразование Кэли представляет собой отображение между кососимметричными матрицами и специальными ортогональными матрицами . Преобразование представляет собой гомографию, используемую в реальном анализе , комплексном анализе и кватернионном анализе . В теории гильбертовых пространств преобразование Кэли представляет собой отображение между линейными операторами ( Никольский, 1988 ).

гомография

Простой пример преобразования Кэли можно выполнить на реальной проективной прямой . Преобразование Кэли здесь последовательно переставит элементы {1, 0, −1, ∞}. Например, он отображает положительные действительные числа в интервал [−1, 1]. Таким образом, преобразование Кэли используется для адаптации полиномов Лежандра для использования с функциями положительных действительных чисел и рациональными функциями Лежандра .

В качестве реальной гомографии точки описываются проективными координатами , а отображение имеет вид

$[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

Комплексная гомография

Преобразование Кэли верхней комплексной полуплоскости в единичный диск

В верхней половине преобразование комплексной плоскости Кэли имеет вид:

$f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

С $\{\infty ,1,-1\}$ отображается на $\{1,-i,i\}$, а преобразования Мёбиуса переставляют обобщенные окружности на комплексной плоскости , $f$ отображает реальную линию на единичный круг . Кроме того, поскольку $f$ является гомеоморфизмом и $i$ принимается в 0 $f$, верхняя полуплоскость отображается на единичный диск .

С точки зрения моделей гиперболической геометрии это преобразование Кэли связывает модель полуплоскости Пуанкаре с моделью диска Пуанкаре .

В электротехнике преобразование Кэли использовалось для сопоставления реактивного сопротивления полуплоскости с диаграммой Смита, используемой для согласования импедансов линий передачи.

Гомография кватернионов

В четырехмерном кватернионов пространстве $a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}$, версии

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ образуют единичную 3-сферу .

Поскольку кватернионы некоммутативны, элементы его проективной прямой имеют однородные координаты, записанные $U[a,b]$ чтобы указать, что однородный множитель умножается слева. Кватернионное преобразование

$f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].$

Действительные и комплексные гомографии, описанные выше, являются примерами гомографии кватернионов, где $\theta$ равен нулю или $\pi /2$, соответственно.Очевидно, преобразование занимает $u\to 0\to -1$ и берет $-u\to \infty \to 1$.

Оценивая эту гомографию на $q=1$ отображает версию $u$ на свою ось:

$f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.$

Но $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$

Таким образом $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$

В этой форме преобразование Кэли было описано как рациональная параметризация вращения: Пусть $t=\tan \phi /2$ в комплексном числовом тождестве

$e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}$

где правая часть представляет собой преобразование $ti$ а левая часть представляет вращение плоскости на отрицательную величину. $\phi$ радианы.

Инверсия

Позволять $u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.$ С

${\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,$

где эквивалентность находится в проективной линейной группе над кватернионами обратной , $f(u,1)$ является

$U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].$

Поскольку гомографии являются биекциями , $f^{-1}(u,1)$ отображает векторные кватернионы в 3-сферу версоров. Поскольку версоры представляют собой вращения в трехмерном пространстве, гомография $f^{-1}$ производит вращения мяча в $\mathbb {R} ^{3}$.

Матричная карта

Среди n × n квадратных матриц размера над действительными числами , где I — единичная матрица, пусть A — любая кососимметричная матрица (так что A ^Т = − А ).

Тогда I + A обратимо Кэли , и преобразование

$Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!$

создает ортогональную матрицу Q Q (так что ^Т Q = Я ). Умножение матриц в приведенном выше определении Q является коммутативным, поэтому Q можно альтернативно определить как $Q=(I+A)^{-1}(I-A)$. Фактически, Q должен иметь определитель +1, поэтому является специальным ортогональным.

И наоборот, пусть Q — любая ортогональная матрица, не имеющая −1 в качестве собственного значения ; затем

$A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!$

является кососимметричной матрицей. (См. также: Инволюция .) Условие на Q автоматически исключает матрицы с определителем −1, но также исключает некоторые специальные ортогональные матрицы.

Однако любую матрицу вращения (специальную ортогональную) Q можно записать как

$Q={\bigl (}(I-A)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}$

для некоторой кососимметричной матрицы A ; в более общем смысле любую ортогональную матрицу Q можно записать как

$Q=E(I-A)(I+A)^{-1}$

для некоторой кососимметричной матрицы A и некоторой диагональной матрицы E с ±1 в качестве элементов.

Встречается и немного другая форма: требующие разных отображений в каждом направлении,

${\begin{aligned}Q&=(I-A)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(Q-I)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}$

Отображения также могут быть записаны с обратным порядком факторов; однако A всегда коммутирует с (μ I ± A ) ⁻¹ , поэтому изменение порядка не влияет на определение.

Примеры

В случае 2×2 имеем

${\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Матрица поворота на 180°, − I , исключается, хотя это предел, поскольку tan ^я ⁄ ₂ уходит в бесконечность.

В случае 3×3 имеем

${\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},$

где К = ш ² + х ² + и ² + я ² , и где w = 1. Это мы узнаем как матрицу вращения, соответствующую кватерниону

$w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!$

(по формуле, которую Кэли опубликовал годом ранее), за исключением масштабирования так, что w = 1 вместо обычного масштабирования, так что w ² + х ² + и ² + я ² = 1. Таким образом, вектор ( x , y , z ) является единичной осью вращения, масштабированной tan ^я ⁄ ₂ . Опять же исключаются повороты на 180°, которые в данном случае являются ( симметричными Q так что Q ^Т = Q ).

Другие матрицы

Можно расширить отображение на комплексные матрицы, заменив « унитарное » на «ортогональное» и « косоэрмитово » на «кососимметричное», с той разницей, что транспонирование (· ^Т ) заменяется сопряженным транспонированием (· ^ЧАС ). Это соответствует замене стандартного реального внутреннего продукта стандартным комплексным внутренним продуктом. Фактически, можно расширить определение, выбрав сопряженное, отличное от транспонирования или сопряженного транспонирования.

Формально определение требует лишь некоторой обратимости, поэтому вместо Q можно заменить любую матрицу M, собственные значения которой не включают −1. Например,

${\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Заметим, что A кососимметричен (соответственно косоэрмитов) тогда и только тогда, когда Q ортогонален (соответственно унитарен) и не имеет собственного значения −1.

Карта оператора

Бесконечномерная версия пространства внутреннего произведения — это гильбертово пространство уже нельзя говорить , и о матрицах . Однако матрицы — это просто представления линейных операторов , и их можно использовать. Таким образом, обобщая как матричное отображение, так и комплексное плоскостное отображение, можно определить преобразование Кэли операторов.

${\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}$

Здесь областью определения U , dom U , является ( A + i I dom A. ) см. в разделе Самосопряженный оператор Дополнительную информацию .

См. также

• Билинейное преобразование
• Расширения симметричных операторов

Ссылки

• Стерлинг К. Бербериан (1974) Лекции по функциональному анализу и теории операторов , Тексты для аспирантов по математике № 15, страницы 278, 281, Springer-Verlag ISBN   978-0-387-90081-0
• Кэли, Артур (1846), «О некоторых свойствах левых определителей» , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 (2): 119–123, doi : 10.1515/crll.1846.32.119 , ISSN   0075-4102 ; перепечатано как статья 52 (стр. 332–336) в Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли , том. I (1841–1853), Cambridge University Press , стр. 332–336.
• Локенат Дебнат и Петр Микусинский (1990) Введение в гильбертово пространство с приложениями , страница 213, Academic Press ISBN   0-12-208435-7
• Гилберт Хельмберг (1969) Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве , страница 288, § 38: Преобразование Кэли, Прикладная математика и механика № 6, Северная Голландия
• Никольский, Николай Капитонович (1988), «Преобразование Кэли» , в Хазевинкеле, Михеле (редактор), Энциклопедия математики , том. 2, Клювер, с. 80, номер домена : 10.1007/978-94-009-6000-8 , ISBN  978-94-009-6002-2 ; перевод с русского Vinogradov, Ivan Matveevich , ed. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya , Moscow: Sovetskaya Entsiklopediya
• Генри Рикардо (2010) Современное введение в линейную алгебру , стр. 504, CRC Press ISBN   978-1-4398-0040-9 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .