Рациональные функции Лежандра

График рациональных функций Лежандра для n=0,1,2 и 3 для x от 0,01 до 100.

В математике представляют рациональные функции Лежандра собой последовательность ортогональных функций на [0, ∞) . Они получаются путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра .

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как: $$R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)$$где $P_{n}(x)$ является полиномом Лежандра. Эти функции являются собственными функциями сингулярной задачи Штурма – Лиувилля : $$(x+1){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0$$с собственными значениями $$\lambda _{n}=n(n+1)\,$$

Характеристики

Многие свойства можно вывести из свойств полиномов Лежандра первого рода. Другие свойства уникальны для самих функций.

Рекурсия

$$R_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}\,{\frac {x-1}{x+1}}\,R_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}\,R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1}$$и $$2(2n+1)R_{n}(x)=\left(x+1\right)^{2}\left({\frac {d}{dx}}R_{n+1}(x)-{\frac {d}{dx}}R_{n-1}(x)\right)+(x+1)\left(R_{n+1}(x)-R_{n-1}(x)\right)$$

Ограничивающее поведение

График седьмого порядка ( n=7 ) Рациональная функция Лежандра, умноженная на 1+x для x от 0,01 до 100. Обратите внимание, что существует n нулей, расположенных симметрично относительно x=1 , и если x ₀ является нулем, то 1/ x ₀ тоже ноль. Эти свойства сохраняются для всех заказов.

Можно показать, что $$\lim _{x\to \infty }(x+1)R_{n}(x)={\sqrt {2}}$$и $$\lim _{x\to \infty }x\partial _{x}((x+1)R_{n}(x))=0$$

Ортогональность

$$\int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}$$где $\delta _{nm}$ – дельта- функция Кронекера.

Особые ценности

$${\begin{aligned}R_{0}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,1\\R_{1}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{2}-4x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{3}-9x^{2}+9x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{4}-16x^{3}+36x^{2}-16x+1}{(x+1)^{4}}}\end{aligned}}$$

Ссылки

• Чжун-Цин, Ван; Бен-Ю, Го (2005). «Смешанный спектральный метод для течения несжимаемой вязкой жидкости в бесконечной полосе» . Вычислительная и прикладная математика . 24 (3). Бразильское общество прикладной и вычислительной математики. дои : 10.1590/S0101-82052005000300002 .