Формула касательного полуугла

В тригонометрии формулы тангенса половинного угла связывают тангенс половины угла с тригонометрическими функциями всего угла.

Формулы

Тангенс половины угла — это стереографическая проекция окружности через точку, находящуюся под углом. ${\textstyle \pi }$ радианы на линию, проходящую через углы ${\textstyle \pm {\frac {\pi }{2}}}$. Среди этих формул можно выделить следующие:

$${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\tan \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}$$

Личности

Из них можно вывести тождества, выражающие синус, косинус и тангенс как функции тангенсов половинных углов:

$${\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}$$

Доказательства

Алгебраические доказательства

Использование формул двойного угла и тождества Пифагора ${\textstyle 1+\tan ^{2}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}\alpha }$ дает

$$\sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}$$

$$\cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.$$

Частное из формул для синуса и косинуса дает

$$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.$$

Объединив тождество Пифагора с формулой двойного угла для косинуса, ${\textstyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1,}$

перестановка и извлечение квадратных корней дает

$$\left|\sin \alpha \right|={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$$ и $$\left|\cos \alpha \right|={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$$

что при делении дает

$$\left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\left|\sin 2\alpha \right|}{1+\cos 2\alpha }}.$$

Альтернативно,

$$\left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\left|\sin 2\alpha \right|}}.$$

Оказывается, знаки абсолютных значений в этих двух последних формулах можно опускать независимо от того, в каком квадранте находится α . С полосами абсолютных значений или без них эти формулы не применяются, когда и числитель, и знаменатель в правой части равны ноль.

Кроме того, используя формулы сложения и вычитания углов как для синуса, так и для косинуса, получаем:

$${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{aligned}}$$

Попарное сложение четырех приведенных выше формул дает:

$${\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}$$

Параметр ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(p+q)}$ и $b={\tfrac {1}{2}}(p-q)$ и заменив доходность:

$${\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}$$

Разделив сумму синусов на сумму косинусов, получим:

$${\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)$$

Геометрические доказательства

Стороны этого ромба имеют длину 1. Угол между горизонтальной линией и показанной диагональю равен ⁠ 1 / 2 ⁠ ( а + б ) . Это геометрический способ доказать конкретную формулу касательного полуугла, которая гласит: tan ⁠ 1 / 2 ⁠ ( а + б ) знак равно ( грех а + грех б ) / ( потому что а + потому что б ) . Формулы грешат ⁠ 1/2 ​ и ⁠ ( a + b ) потому что ⁠ 1/2 + ( ⁠ отношения действительных расстояний к a b ) — длине диагонали.

Применяя полученные выше формулы к фигуре ромба справа, легко показать, что

$$\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.$$

В единичном круге применение вышеизложенного показывает, что ${\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }$. По подобию треугольников ,

$${\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}.$$

Отсюда следует, что

$$t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.$$

Замена касательного полуугла в интегральном исчислении

Основная статья: Замена касательной полуугла

Геометрическое доказательство замены касательного полуугла

В различных приложениях тригонометрии полезно переписать тригонометрические функции (такие как синус и косинус ) через рациональные функции новой переменной. $t$. Эти тождества известны под общим названием формулы тангенса половинного угла из-за определения $t$. Эти тождества могут быть полезны в исчислении для преобразования рациональных функций по синусу и косинусу в функции от t с целью нахождения их первообразных .

Геометрически построение выглядит так: для любой точки (cos φ , sin φ ) на единичной окружности проведем прямую, проходящую через нее, и точку (−1, 0) . Эта точка пересекает ось y в некоторой точке y = t . С помощью простой геометрии можно показать, что t = tan(φ/2) . Уравнение нарисованной линии: y = (1 + x ) t . Тогда уравнение пересечения прямой и окружности представляет собой квадратное уравнение, включающее t . Двумя решениями этого уравнения являются (−1, 0) и (cos φ , sin φ ) . Это позволяет записать последние как рациональные функции от t (решения приведены ниже).

Параметр t представляет собой стереографическую проекцию точки (cos φ , sin φ ) на ось y с центром проекции в (−1, 0) . Таким образом, формулы касательного полуугла дают преобразования между стереографической координатой t на единичной окружности и стандартной угловой координатой φ .

Тогда у нас есть

$${\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}$$

и

$$e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.$$

Оба эти выражения $e^{i\varphi }$ и выражение $t=\tan(\varphi /2)$ можно решить для $\varphi$. Приравнивая их, получаем арктангенс в виде натурального логарифма. $$\arctan t={\frac {-i}{2}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.$$

В исчислении замена касательного полуугла используется для нахождения первообразных рациональных функций от sin φ и cos φ . Дифференциация $t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi$ дает $${\frac {dt}{d\varphi }}={\tfrac {1}{2}}\sec ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi )={\tfrac {1}{2}}(1+t^{2})$$и таким образом $$d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.$$

Гиперболические тождества

Совершенно аналогичную игру можно сыграть с гиперболическими функциями . Точка на (правой ветви) гиперболы задается формулой (cosh ψ , sinh ψ ) . Проецирование этого на ось y из центра (−1, 0) дает следующее:

$$t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ={\frac {\sinh \psi }{\cosh \psi +1}}={\frac {\cosh \psi -1}{\sinh \psi }}$$

с личностями

$${\begin{aligned}&\sinh \psi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \psi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \psi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \psi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}$$

и

$$e^{\psi }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\psi }={\frac {1-t}{1+t}}.$$

Нахождение ψ через t приводит к следующему соотношению между обратным гиперболическим тангенсом $\operatorname {artanh}$ и натуральный логарифм:

$$2\operatorname {artanh} t=\ln {\frac {1+t}{1-t}}.$$

Гиперболическая замена тангенса на половинный угол в исчислении использует $$d\psi ={{2\,dt} \over {1-t^{2}}}\,.$$

Функция Гудермана

Основная статья: функция Гудермана

Сравнивая гиперболические тождества с круговыми, можно заметить, что они включают в себя одни и те же функции от t , только что переставленные. Если мы идентифицируем параметр t в обоих случаях, мы придем к связи между круговыми функциями и гиперболическими. То есть, если

$$t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi$$

затем

$$\varphi =2\arctan {\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )}\equiv \operatorname {gd} \psi .$$

где gd( ψ ) — функция Гудермана . Функция Гудермана устанавливает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими, не включающую комплексные числа. Приведенные выше описания формул касательного половинного угла (проекция единичной окружности и стандартной гиперболы на ось y ) дают геометрическую интерпретацию этой функции.

Рациональные ценности и пифагоровы тройки

Основная статья: тройка Пифагора

Начнем с треугольника Пифагора с длинами сторон a , b и c, которые являются положительными целыми числами и удовлетворяют a ² + б ² = с ² , немедленно следует, что каждый внутренний угол треугольника имеет рациональные значения синуса и косинуса, поскольку это просто отношения длин сторон. Таким образом, каждый из этих углов имеет рациональное значение тангенса половинного угла, используя tan φ /2 = sin φ / (1 + cos φ ) .

Обратное также верно. Если есть два положительных угла, сумма которых равна 90 °, каждый из которых имеет рациональный тангенс половинного угла, а третий угол является прямым , то треугольник с этими внутренними углами можно масштабировать до треугольника Пифагора. Если третий угол не обязательно должен быть прямым, но это угол, при котором сумма трех положительных углов равна 180 °, то третий угол обязательно будет иметь рациональное число для тангенса половинного угла, когда первые два угла имеют (используя формулы сложения и вычитания углов для тангенсов), и треугольник можно масштабировать до геронова треугольника .

В общем случае, если K является подполем комплексных чисел, то tan φ /2 ∈ K ∪ {∞} означает, что {sin φ , cos φ , tan φ , sec φ , csc φ , cot φ } ⊆ K ∪ {∞} .

См. также

• Список тригонометрических тождеств
• Полусторонняя формула

Внешние ссылки

• Тангенс половинного угла в Planetmath