Полусторонняя формула

Сферический треугольник

В сферической тригонометрии формула половины стороны связывает углы и длины сторон сферических треугольников , которые представляют собой треугольники, нарисованные на поверхности сферы и поэтому имеющие изогнутые стороны и не подчиняющиеся формулам для плоских треугольников .

Для треугольника $\triangle ABC$ на сфере формула полустороны такова: $${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(S-A)}{\cos(S-B)\,\cos(S-C)}}}\end{aligned}}$$

где a, b, c — угловые длины (мера центрального угла , длины дуг, нормированные на сферу единичного радиуса ) сторон, противоположных углам A, B, C соответственно, и $S={\tfrac {1}{2}}(A+B+C)$ это половина суммы углов. Можно получить еще две формулы для $b$ и $c$ меняя метки $A,B,C.$

Полярное двойственное соотношение для сферического треугольника представляет собой формулу половинного угла :

$${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin(s)\,\sin(s-a)}}}\end{aligned}}$$

где полупериметр $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ равна половине суммы сторон. Опять же, еще две формулы можно получить, переставив метки $A,B,C.$

Полукасательный вариант

Эти же соотношения можно записать в виде рациональных уравнений полукасательных (тангенсов полууглов). Если $t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,$ $t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,$ $t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,$$t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,$ $t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,$ и $t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,$ тогда формула полустороны эквивалентна:

$${\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}}.\end{aligned}}$$

а формула половинного угла эквивалентна:

$${\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}$$

См. также

• Сферический закон косинусов
• Закон хаверсинусов