Закон касательных

В тригонометрии действует закон тангенса или правило тангенса. ^[1] Это утверждение о соотношении тангенсов двух углов треугольника и длин противоположных сторон.

На рисунке 1 $a$ , $b$ и $c$ — длины трех сторон треугольника, а $α$ , $β$ и $γ$ — углы, противоположные этим трем соответствующим сторонам. Закон касательных гласит, что

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.

Закон тангенсов, хотя и не так широко известен, как закон синусов или закон косинусов , эквивалентен закону синусов и может использоваться в любом случае, когда две стороны и прилежащий к ним угол или два угла и сторона , известны.

Доказательство [ править ]

Чтобы доказать закон тангенса, можно начать с закона синусов :

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=d,

где $d$ - диаметр описанной окружности , так что $a=d\sin \alpha$ и $b=d\sin \beta$ .

Отсюда следует, что

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.

Используя тригонометрическое тождество , формулу фактора для синусов конкретно

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta ),

мы получаем

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.

В качестве альтернативы использованию тождества для суммы или разности двух синусов можно привести тригонометрическое тождество.

\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}

(см. формулу касательного полуугла ).

Приложение [ править ]

Закон касательных можно использовать для вычисления углов треугольника, в котором $две стороны a$ и $b$ и приложенный к ним угол $γ$ заданы .

От

\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )={\frac {a-b}{a+b}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\frac {a-b}{a+b}}\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma

вычислить разность углов $α - β = Δ$ ; используйте это, чтобы вычислить $β = (180° - γ - Δ)/2$ , а затем $α = β + Δ$ .

После того как угол, противоположный известной стороне, вычислен, оставшуюся сторону $c$ можно вычислить, используя закон синусов .

До появления электронных калькуляторов этот методбыло предпочтительнее применения закона косинусов $c = \sqrt a 2 + б 2 - 2 ab cos γ$ , поскольку этот последний закон потребовал дополнительного поиска в таблице логарифмов для вычисления квадратного корня. В наше время закон тангенсов может иметь лучшие числовые свойства, чем закон косинусов: если $γ$ мало, а $a$ и $b$ почти равны, то применение закона косинусов приводит к вычитанию почти равных величин, что приводит к катастрофическим последствиям. отмена .

Сферическая версия [ править ]

На сфере единичного радиуса стороны треугольника представляют собой дуги больших кругов . Соответственно, их длины могут выражаться в радианах или любых других единицах угловой меры. Пусть $A$ , $B$ , $C$ — углы в трех вершинах треугольника, а $a$ , $b$ , $c$ — соответствующие длины противоположных сторон. Сферический закон касательных гласит: ^[2]

{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}.

История [ править ]

Закон касательных для плоских треугольников был описан в 11 веке Ибн Мухадом аль-Джайани . ^[3]

Закон тангенсов для сферических треугольников был описан в 13 веке персидским математиком Насир ад-Дином ат-Туси (1201–1274), который также представил закон синусов для плоских треугольников в своем пятитомном труде «Трактат о четырехугольнике» . ^[3]^[4]

Циклический четырехугольник [ править ]

Обобщение закона касательных справедливо для вписанного четырехугольника. $\square ABCD.$ Обозначим длины сторон $|AB|=a,$ $|BC|=b,$ $|CD|=c,$ и $|DA|=d$ и угловые меры $\angle {DAB}=\alpha ,$ $\angle {ABC}=\beta$ .Затем: ^[5]

{\begin{aligned}{\frac {(a-c)(b-d)}{(a+c)(b+d)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}

Эта формула сводится к закону касательных к треугольнику, когда $c=0$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ См. Эли Маор , Тригонометрические наслаждения , Princeton University Press , 2002.
^ Дэниел Цвиллингер, Стандартные математические таблицы и формулы CRC , 32-е издание, CRC Press, 2011, стр. 219.
^ Jump up to: ^а ^б Мари-Тереза Дебарно (1996). «Тригонометрия» . В Рушди Рашид, Режис Морелон (ред.). Энциклопедия истории арабской науки, Том 2 . Рутледж. п. 182. ИСБН 0-415-12411-5 .
^ К. Муштак, Дж. Л. Берггрен (2002). «Тригонометрия» . В CE Босворт, М.С.Асимов (ред.). История цивилизаций Центральной Азии, Том 4, Часть 2 . Мотилал Банарсидасс. п. 190. ИСБН 81-208-1596-3 .
^ Хосе Гарсиа, Эммануэль Антонио (2024), «Обобщение закона касательных» , журнал Mathematics , 97 (3): 274–275. , получено 1 мая 2024 г.

[1] См. Эли Маор , Тригонометрические наслаждения , Princeton University Press , 2002.

[2] Дэниел Цвиллингер, Стандартные математические таблицы и формулы CRC , 32-е издание, CRC Press, 2011, стр. 219.

[Debarnot-3] Jump up to: ^а ^б Мари-Тереза Дебарно (1996). «Тригонометрия» . В Рушди Рашид, Режис Морелон (ред.). Энциклопедия истории арабской науки, Том 2 . Рутледж. п. 182. ИСБН 0-415-12411-5 .

[Bosworth-4] К. Муштак, Дж. Л. Берггрен (2002). «Тригонометрия» . В CE Босворт, М.С.Асимов (ред.). История цивилизаций Центральной Азии, Том 4, Часть 2 . Мотилал Банарсидасс. п. 190. ИСБН 81-208-1596-3 .

[5] Хосе Гарсиа, Эммануэль Антонио (2024), «Обобщение закона касательных» , журнал Mathematics , 97 (3): 274–275. , получено 1 мая 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]