Обобщенная тригонометрия

Обычная тригонометрия изучает треугольники на евклидовой плоскости. $\mathbb {R} ^{2}$ . Существует несколько способов определения обычных евклидовых геометрических тригонометрических функций на действительных числах , например определения прямоугольного треугольника , определения единичного круга , определения ряда , определения с помощью дифференциальных уравнений и определения с использованием функциональных уравнений . Обобщения тригонометрических функций часто разрабатываются, начиная с одного из вышеперечисленных методов и адаптируя его к ситуации, отличной от действительных чисел евклидовой геометрии. Как правило, тригонометрия может представлять собой изучение троек точек в любой геометрии или пространстве . Треугольник — это многоугольник с наименьшим количеством вершин, поэтому одно из направлений обобщения — изучение многомерных аналогов углов и многоугольников: телесных углов и многогранников, таких как тетраэдры и $n$ -симплексы .

Тригонометрия [ править ]

В сферической тригонометрии треугольники на поверхности сферы . изучаются Тождества сферического треугольника записываются через обычные тригонометрические функции, но отличаются от тождеств плоского треугольника .
Гиперболическая тригонометрия:
1. Исследование гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с гиперболическими функциями .
2. Гиперболические функции в евклидовой геометрии: единичный круг параметризуется (cost t , sin t ), тогда как равносторонняя гипербола параметризуется (cosh t , sinh t ).
3. Гиротригонометрия : форма тригонометрии, используемая в подходе гировекторного пространства к гиперболической геометрии с приложениями к специальной теории относительности и квантовым вычислениям .
Тригонометрия для геометрии такси ^[1]
Тригонометрия пространства-времени ^[2]
Нечеткая качественная тригонометрия ^[3]
Операторная тригонометрия ^[4]
Решётчатая тригонометрия ^[5]
Тригонометрия в симметричных пространствах ^[6]^[7]^[8]

Высшие измерения [ править ]

Ортосхемы Шлефли — правые симплексы (прямоугольные треугольники, обобщенные на n измерений) — изучались Схоутом , который назвал обобщенную тригонометрию n евклидовых измерений полигонометрией .
- Теоремы Пифагора для n -симплексов с «ортогональным углом».
Тригонометрия тетраэдра ^[9]
- Теорема Де Гуа - теорема Пифагора для тетраэдра с кубическим углом.
- Закон синусов для тетраэдров
Полярный синус

Тригонометрические функции [ править ]

Тригонометрические функции могут быть определены для дробных дифференциальных уравнений . ^[10]

В исчислении временных масштабов дифференциальные объединяются и разностные уравнения в динамические уравнения во временных масштабах, которые также включают q-разностные уравнения . Тригонометрические функции могут быть определены в произвольном масштабе времени (подмножестве действительных чисел).
Определения sin и cos в виде серий определяют эти функции в любой алгебре , где ряды сходятся , например, в комплексных числах , p -адических числах , матрицах и различных банаховых алгебрах .

Другое [ править ]

Полярные/тригонометрические формы гиперкомплексных чисел ^[11]^[12]
Полигонометрия - тригонометрические тождества для нескольких различных углов. ^[13]
, Эллиптические функции лемнискаты sinlem и coslem

См. также [ править ]

Теорема Пифагора в неевклидовой геометрии

Ссылки [ править ]

^ Томпсон, К.; Дрей, Т. (2000), «Углы такси и тригонометрия» (PDF) , Pi Mu Epsilon Journal , 11 (2): 87–96, arXiv : 1101.2917 , Bibcode : 2011arXiv1101.2917T
^ Херранц, Франциско Дж.; Ортега, Рамон; Сантандер, Мариано (2000), «Тригонометрия пространства-времени: новый самодвойственный подход к (не)зависимой от кривизны/сигнатуры тригонометрии», Journal of Physics A , 33 (24): 4525–4551, arXiv : math-ph/ 9910041 , Bibcode : 2000JPhA...33.4525H , doi : 10.1088/0305-4470/33/24/309 , MR 1768742 , S2CID 15313035
^ Лю, Хунхай; Когхилл, Джордж М. (2005), «Нечеткая качественная тригонометрия», Международная конференция IEEE 2005 г. по системам, человеку и кибернетике (PDF) , том. 2, стр. 1291–1296, заархивировано из оригинала (PDF) 25 июля 2011 г.
^ Gustafson, K. E. (1999), "A computational trigonometry, and related contributions by Russians Kantorovich, Krein, Kaporin" , Вычислительные технологии , 4 (3): 73–83
^ Карпенков, Олег (2008), «Элементарные понятия решеточной тригонометрии», Mathematica Scandinavica , 102 (2): 161–205, arXiv : math/0604129 , doi : 10.7146/math.scand.a-15058 , MR 2437186 , S2CID 49911437
^ Аслаксен, Хельмер; Хюинь, Сюэ-Линг (1997), «Законы тригонометрии в симметричных пространствах», Геометрия Тихоокеанского региона (Сингапур, 1994) , Берлин: де Грюйтер, стр. 23–36, CiteSeerX 10.1.1.160.1580 , MR 1468236
^ Лойзингер, Энрико (1992), «О тригонометрии симметричных пространств», Commentarii Mathematici Helvetici , 67 (2): 252–286, doi : 10.1007/BF02566499 , MR 1161284 , S2CID 123684622
^ Масала, Г. (1999), "Правильные треугольники и изоклинические треугольники в многообразиях Грассмана $G 2 (R Н)$ », Доклады Математической семинарии Туринского университета и Политехнического института. , 57 (2): 91–104, MR 1974445
^ Ричардсон, Г. (1 марта 1902 г.). «Тригонометрия тетраэдра» . Математический вестник . 2 (32): 149–158. дои : 10.2307/3603090 . JSTOR 3603090 . S2CID 125115660 .
^ Уэст, Брюс Дж.; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003), Физика фрактальных операторов , Институт нелинейных наук, Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 101, номер домена : 10.1007/978-0-387-21746-8 , ISBN 0-387-95554-2 , г.р. 1988873
^ Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (2004), «Геометрия обобщенных комплексных чисел», Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236 , JSTOR 3219099 , MR 1573734 , S2CID 7837108
^ Ямалеев, Роберт М. (2005), «Комплексные алгебры на $полиномах n-$ порядка и обобщения тригонометрии, модели осциллятора и динамики Гамильтона» (PDF) , « Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда» , 15 (1): 123–150, doi : 10.1007 /s00006-005-0007-y , MR 2236628 , S2CID 121144869 , заархивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2011 г.
^ Антиппа, Адель Ф. (2003), «Комбинаторная структура тригонометрии» (PDF) , Международный журнал математики и математических наук , 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155/S0161171203106230 , MR 1967890

[1] Томпсон, К.; Дрей, Т. (2000), «Углы такси и тригонометрия» (PDF) , Pi Mu Epsilon Journal , 11 (2): 87–96, arXiv : 1101.2917 , Bibcode : 2011arXiv1101.2917T

[2] Херранц, Франциско Дж.; Ортега, Рамон; Сантандер, Мариано (2000), «Тригонометрия пространства-времени: новый самодвойственный подход к (не)зависимой от кривизны/сигнатуры тригонометрии», Journal of Physics A , 33 (24): 4525–4551, arXiv : math-ph/ 9910041 , Bibcode : 2000JPhA...33.4525H , doi : 10.1088/0305-4470/33/24/309 , MR 1768742 , S2CID 15313035

[3] Лю, Хунхай; Когхилл, Джордж М. (2005), «Нечеткая качественная тригонометрия», Международная конференция IEEE 2005 г. по системам, человеку и кибернетике (PDF) , том. 2, стр. 1291–1296, заархивировано из оригинала (PDF) 25 июля 2011 г.

[4] Gustafson, K. E. (1999), "A computational trigonometry, and related contributions by Russians Kantorovich, Krein, Kaporin" , Вычислительные технологии , 4 (3): 73–83

[5] Карпенков, Олег (2008), «Элементарные понятия решеточной тригонометрии», Mathematica Scandinavica , 102 (2): 161–205, arXiv : math/0604129 , doi : 10.7146/math.scand.a-15058 , MR 2437186 , S2CID 49911437

[6] Аслаксен, Хельмер; Хюинь, Сюэ-Линг (1997), «Законы тригонометрии в симметричных пространствах», Геометрия Тихоокеанского региона (Сингапур, 1994) , Берлин: де Грюйтер, стр. 23–36, CiteSeerX 10.1.1.160.1580 , MR 1468236

[7] Лойзингер, Энрико (1992), «О тригонометрии симметричных пространств», Commentarii Mathematici Helvetici , 67 (2): 252–286, doi : 10.1007/BF02566499 , MR 1161284 , S2CID 123684622

[8] Масала, Г. (1999), "Правильные треугольники и изоклинические треугольники в многообразиях Грассмана $G 2 (R Н)$ », Доклады Математической семинарии Туринского университета и Политехнического института. , 57 (2): 91–104, MR 1974445

[9] Ричардсон, Г. (1 марта 1902 г.). «Тригонометрия тетраэдра» . Математический вестник . 2 (32): 149–158. дои : 10.2307/3603090 . JSTOR 3603090 . S2CID 125115660 .

[10] Уэст, Брюс Дж.; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003), Физика фрактальных операторов , Институт нелинейных наук, Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 101, номер домена : 10.1007/978-0-387-21746-8 , ISBN 0-387-95554-2 , г.р. 1988873

[11] Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (2004), «Геометрия обобщенных комплексных чисел», Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236 , JSTOR 3219099 , MR 1573734 , S2CID 7837108

[12] Ямалеев, Роберт М. (2005), «Комплексные алгебры на $полиномах n-$ порядка и обобщения тригонометрии, модели осциллятора и динамики Гамильтона» (PDF) , « Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда» , 15 (1): 123–150, doi : 10.1007 /s00006-005-0007-y , MR 2236628 , S2CID 121144869 , заархивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2011 г.

[13] Антиппа, Адель Ф. (2003), «Комбинаторная структура тригонометрии» (PDF) , Международный журнал математики и математических наук , 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155/S0161171203106230 , MR 1967890

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]