Полярный синус

В геометрии полярный синус обобщает функцию синуса угла угол при вершине многогранника на . Обозначается psin .

Определение

n векторов в n -мерном пространстве

Интерпретации трехмерных объемов слева : параллелепипед Π в определении ) (Ω в определении полярного синуса) и справа: кубоид ( . Интерпретация аналогична в более высоких измерениях.

Пусть v ₁ , ..., v _n ( n ≥ 1) — ненулевые евклидовы векторы в n -мерном пространстве ( R ^н ), которые направлены из , образуя вершины параллелоэдра ребра параллелоэдра. Полярный синус вершинного угла равен:

$\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},$

где числитель является определителем

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,$

который равен знаковому гиперобъему параллелоэдра с векторными ребрами

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\dots ,v_{1n})^{T}\\\mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf {v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\dots ,v_{nn})^{T}\,,\\\end{aligned}}$

и где знаменатель — n -кратное произведение

$\Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|$

величин -мерного векторов, что равно гиперобъему n с ребрами , гиперпрямоугольника равными модулям векторов || v ₁ ||, || v ₂ ||, ... || в _н || а не сами векторы. См. также Эрикссон.

Параллелотоп подобен «сплющенному гиперпрямоугольнику», поэтому у него меньший гиперобъем, чем у гиперпрямоугольника, что означает (см. изображение для трехмерного случая):

$|\Omega |\leq \Pi \implies {\frac {|\Omega |}{\Pi }}\leq 1\implies -1\leq \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1\,,$

что касается обычного синуса, то любая граница достигается только в том случае, если все векторы взаимно ортогональны .

В случае n = 2 полярный синус — это обыкновенный синус угла между двумя векторами.

В высших измерениях

Неотрицательную версию полярного синуса, работающую в любом m -мерном пространстве, можно определить с помощью определителя Грама . Это соотношение, в котором знаменатель такой, как описано выше. Числитель

$|\Omega |={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,,$

где верхний индекс T указывает на транспонирование матрицы . Оно может быть отличным от нуля, только если m ≥ n . В случае m = n это эквивалентно абсолютному значению определения, данного ранее. В вырожденном случае m < n определитель будет иметь сингулярную матрицу размера n × n , что дает Ω = 0 и psin = 0 , поскольку невозможно иметь n линейно независимых векторов в m -мерном пространстве, когда m < n .

Характеристики

Обмен векторами

Полярный синус меняет знак всякий раз, когда два вектора меняются местами, из-за антисимметрии замены строк в определителе; однако его абсолютное значение останется неизменным.

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\!\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}$

Инвариантность относительно скалярного умножения векторов

Полярный синус не меняется, если все векторы v ₁ , ..., v _n на скалярно умножаются положительные константы c _i , из-за факторизации

${\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}).\end{aligned}}$

Если нечетное число этих констант будет отрицательным, то знак полярного синуса изменится; однако его абсолютное значение останется неизменным.

Исчезает при линейных зависимостях

Если векторы не являются линейно независимыми , полярный синус будет равен нулю. Так будет всегда в вырожденном случае , когда число измерений m строго меньше числа векторов n .

Связь с парными косинусами

Косинус выражением угла между двумя ненулевыми векторами определяется

$\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {v} _{1}\|\|\mathbf {v} _{2}\|}}\,$

используя скалярное произведение . Сравнение этого выражения с определением абсолютного значения полярного синуса, данным выше, дает:

$\left|\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[{\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].$

В частности, для n = 2 это эквивалентно

$\sin ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=1-\cos ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})\,,$

что является теоремой Пифагора .

История

Полярные синусы были исследованы Эйлером в XVIII веке.

См. также

• Тригонометрические функции
• Список тригонометрических тождеств
• Телесный угол
• Симплекс
• Закон синусов
• Перекрестное произведение и семимерное векторное произведение
• Градуированная алгебра
• Внешняя производная
• Дифференциальная геометрия
• Интеграл объема
• Мера (математика)
• Интегральный продукт

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полярный синус» . Математический мир .