Матрица Грамма

В линейной алгебре — матрица Грама (или матрица Грамиана , Грамиан ) набора векторов. $v_{1},\dots ,v_{n}$ в пространстве внутреннего продукта — это эрмитова матрица внутренних продуктов , элементы которой задаются внутренним продуктом $G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle$. Если векторы $v_{1},\dots ,v_{n}$ являются столбцами матрицы $X$ тогда матрица Грама $X^{\dagger }X$ в общем случае координаты вектора представляют собой комплексные числа, что упрощается до $X^{\top }X$ для случая, когда координаты вектора являются действительными числами.

Важным применением является вычисление линейной независимости : набор векторов линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель Грама ( определитель матрицы Грама) не равен нулю.

Он назван в честь Йоргена Педерсена Грама .

Примеры

Для конечномерных вещественных векторов в $\mathbb {R} ^{n}$ с обычным евклидовым скалярным произведением матрица Грама имеет вид $G=V^{\top }V$, где $V$ — матрица, столбцами которой являются векторы $v_{k}$ и $V^{\top }$ это его транспонирование, строки которого являются векторами $v_{k}^{\top }$. Для комплексных векторов в $\mathbb {C} ^{n}$, $G=V^{\dagger }V$, где $V^{\dagger }$ является транспонированием сопряженным $V$.

Даны интегрируемые с квадратом функции $\{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$ на интервале $\left[t_{0},t_{f}\right]$, матрица Грама $G=\left[G_{ij}\right]$ является:

$G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}^{*}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .$

где $\ell _{i}^{*}(\tau )$ является комплексно- сопряженным $\ell _{i}(\tau )$.

Для любой билинейной формы $B$ в конечномерном векторном пространстве над любым полем мы можем определить матрицу Грама $G$ прикреплен к набору векторов $v_{1},\dots ,v_{n}$ к $G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)$. Матрица будет симметричной, если билинейная форма $B$ является симметричным.

Приложения

• В римановой геометрии при наличии вложенного $k$-мерное риманово многообразие $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ и параметризация $\phi :U\to M$ для $(x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}$, форма объема $\omega$ на $M$ индуцированный вложением, можно вычислить с использованием грамиана координатных касательных векторов: $$\omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].$$ Это обобщает классический поверхностный интеграл параметризованной поверхности. $\phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}$ для $(x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}$: $$\int _{S}f\ dA=\iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.$$
• Если векторы представляют собой центрированные случайные величины , грамиан приблизительно пропорционален ковариационной матрице , при этом масштабирование определяется количеством элементов в векторе.
• В квантовой химии матрица Грама набора базисных векторов является матрицей перекрытия .
• В теории управления (или, в более общем смысле, теории систем ), Грамиан управляемости и Грамиан наблюдаемости определяют свойства линейной системы.
• Матрицы Грамиана возникают при подборе модели ковариационной структуры (см., например, Джамшидиан и Бентлер, 1993, Прикладные психологические измерения, том 18, стр. 79–94).
• В методе конечных элементов матрица Грама возникает в результате аппроксимации функции из конечномерного пространства; тогда элементы матрицы Грама являются внутренними произведениями базисных функций конечномерного подпространства.
• В машинном обучении функции ядра часто представляются в виде матриц Грама. (Также см. ядро ​​PCA )
• Поскольку матрица Грама над действительными числами является симметричной матрицей , она диагонализуема и ее собственные значения неотрицательны. Диагонализация матрицы Грама представляет собой разложение по сингулярным значениям .

Характеристики

Положительная полуопределенность

Матрица Грама симметрична в случае, если внутренний продукт имеет действительное значение; оно эрмитово в общем, сложном случае по определению скалярного продукта .

Матрица Грама является положительно полуопределенной , и каждая положительно полуопределенная матрица является матрицей Грама для некоторого набора векторов. Тот факт, что матрица Грамиана является положительно-полуопределенной, можно увидеть из следующего простого вывода:

$x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.$

Первое равенство следует из определения умножения матриц, второе и третье — из билинейности внутреннего продукта , а последнее — из положительной определенности внутреннего продукта.Обратите внимание, что это также показывает, что матрица Грамиана положительно определена тогда и только тогда, когда векторы $v_{i}$ линейно независимы (т.е. ${\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}$ для всех $x$).

Нахождение векторной реализации

Смотрите также: Положительно определенная матрица § Разложение

Учитывая любую положительную полуопределенную матрицу $M$, его можно разложить как:

$M=B^{\dagger }B$,

где $B^{\dagger }$ является транспонированием сопряженным $B$ (или $M=B^{\textsf {T}}B$ в реальном случае).

Здесь $B$ это $k\times n$ матрица, где $k$ это ранг ​ $M$. Различные способы получения такого разложения включают вычисление разложения Холецкого или извлечение неотрицательного квадратного корня из $M$.

Столбцы $b^{(1)},\dots ,b^{(n)}$ из $B$ можно рассматривать как n векторов в $\mathbb {C} ^{k}$ (или k -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{k}$, в реальном случае). Затем

$M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}$

где скалярное произведение ${\textstyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}$ является обычным внутренним произведением на $\mathbb {C} ^{k}$.

Таким образом, эрмитова матрица $M$ положительно полуопределена тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама некоторых векторов $b^{(1)},\dots ,b^{(n)}$. Такие векторы называются реализацией векторной $M$. Бесконечномерным аналогом этого утверждения является теорема Мерсера .

Единственность векторных реализаций

Если $M$ - матрица Грама векторов $v_{1},\dots ,v_{n}$ в $\mathbb {R} ^{k}$ затем применяя любое вращение или отражение $\mathbb {R} ^{k}$ (любое ортогональное преобразование , то есть любая евклидова изометрия, сохраняющая 0) в последовательность векторов, приводит к одной и той же матрице Грама. То есть для любого $k\times k$ ортогональная матрица $Q$, матрица Грама $Qv_{1},\dots ,Qv_{n}$ также $M$.

Это единственный способ, с помощью которого две вещественные векторные реализации $M$ могут различаться: векторы $v_{1},\dots ,v_{n}$ единственны с точностью до ортогональных преобразований . Другими словами, скалярные произведения $v_{i}\cdot v_{j}$ и $w_{i}\cdot w_{j}$ равны тогда и только тогда, когда некоторое жесткое преобразование $\mathbb {R} ^{k}$ преобразует векторы $v_{1},\dots ,v_{n}$ к $w_{1},\dots ,w_{n}$ и от 0 до 0.

То же самое справедливо и в комплексном случае, когда используются унитарные преобразования вместо ортогональных преобразований .То есть, если матрица Грама векторов $v_{1},\dots ,v_{n}$ равна матрице Грама векторов $w_{1},\dots ,w_{n}$ в $\mathbb {C} ^{k}$ тогда есть унитарный $k\times k$ матрица $U$ (значение $U^{\dagger }U=I$) такой, что $v_{i}=Uw_{i}$ для $i=1,\dots ,n$.

Другие объекты недвижимости

• Потому что $G=G^{\dagger }$, это обязательно так $G$ и $G^{\dagger }$ добираться. То есть действительная или комплексная матрица Грама $G$ тоже нормальная матрица .
• Матрица Грама любого ортонормированного базиса является единичной матрицей. Эквивалентно, матрица Грама строк или столбцов реальной матрицы вращения является единичной матрицей. Аналогично, матрица Грама строк или столбцов унитарной матрицы является единичной матрицей.
• Ранг матрицы Грама векторов в $\mathbb {R} ^{k}$ или $\mathbb {C} ^{k}$ равна размерности пространства, натянутого этими векторами.

Они определяют грамм

Определитель Грама или Грамиан является определителем матрицы Грама: $${\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\begin{vmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\langle v_{1},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\langle v_{2},v_{1}\rangle &\langle v_{2},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{2},v_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\langle v_{n},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{vmatrix}}.$$

Если $v_{1},\dots ,v_{n}$ являются векторами в $\mathbb {R} ^{m}$ тогда это квадрат n -мерного объема параллелоэдра, образованного векторами. В частности, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда параллелоэдр имеет ненулевой n -мерный объем, тогда и только тогда, когда определитель Грама ненулевой, тогда и только тогда, когда матрица Грама невырождена . Когда n > m, определитель и объем равны нулю. Когда n = m , это сводится к стандартной теореме о том, что абсолютное значение определителя n n -мерных векторов представляет собой n -мерный объем. Определитель Грама также полезен для вычисления объема симплекса, образованного векторами; его объем равен Volume(параллелотопу) / n ! .

Определитель Грама также можно выразить через внешнее произведение векторов:

${\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}=\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\|^{2}.$

Когда векторы $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$ определяются по положениям точек $p_{1},\ldots ,p_{n}$ относительно некоторой точки отсчета $p_{n+1}$,

$$(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},\ldots ,p_{n}-p_{n+1})\,,$$

тогда определитель Грама можно записать как разность двух определителей Грама:

$${\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\bigl |}G((p_{1},1),\dots ,(p_{n+1},1)){\bigr |}-{\bigl |}G(p_{1},\dots ,p_{n+1}){\bigr |}\,,$$

где каждый $(p_{j},1)$ это соответствующая точка $p_{j}$ дополнено значением координаты 1 для $(m+1)$-е измерение. Обратите внимание, что в обычном случае n = m второй член в правой части будет равен нулю.

Построение ортонормированного базиса

Учитывая набор линейно независимых векторов $\{v_{i}\}$ с матрицей Грама $G$ определяется $G_{ij}:=\langle v_{i},v_{j}\rangle$, можно построить ортонормированный базис

$u_{i}:=\sum _{j}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ji}v_{j}.$

В матричной записи $U=VG^{-1/2}$, где $U$ имеет ортонормированные базисные векторы $\{u_{i}\}$ и матрица $V$ состоит из заданных векторов-столбцов $\{v_{i}\}$.

Матрица $G^{-1/2}$ гарантированно существует. Действительно, $G$ является эрмитовым и поэтому может быть разложен как $G=UDU^{\dagger }$ с $U$ унитарная матрица и $D$ реальная диагональная матрица. Кроме того, $v_{i}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда $G$ положительно определен, что означает, что диагональные элементы $D$ являются положительными. $G^{-1/2}$ поэтому однозначно определяется $G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^{\dagger }$. Можно проверить, что эти новые векторы ортонормированы:

${\begin{aligned}\langle u_{i},u_{j}\rangle &=\sum _{i'}\sum _{j'}{\Bigl \langle }{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{i'i}v_{i'},{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}v_{j'}{\Bigr \rangle }\\[10mu]&=\sum _{i'}\sum _{j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ii'}G_{i'j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}\\[8mu]&={\bigl (}G^{-1/2}GG^{-1/2}{\bigr )}_{ij}=\delta _{ij}\end{aligned}}$

где мы использовали ${\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}^{\dagger }=G^{-1/2}$.

См. также

• Управляемость Грамиан
• Наблюдаемость Грамиана

Ссылки

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-54823-6 .

Внешние ссылки

• «Матрица Грамма» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Тома параллелограммов Фрэнка Джонса