Управляемость Грамиан

В теории управления нам может потребоваться выяснить, является ли такая система, как $${\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{aligned}}$$является управляемым , где ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ и ${\boldsymbol {D}}$ являются, соответственно, $n\times n$, $n\times p$, $q\times n$ и $q\times p$ матрицы для системы с $p$ входы, $n$ переменные состояния и $q$ выходы.

Одним из многих способов достижения этой цели является использование управляемости Грамиана .

Управляемость в системах LTI

Линейные инвариантные во времени системы (LTI) — это те системы, в которых параметры ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ и ${\boldsymbol {D}}$ инвариантны относительно времени.

Можно наблюдать, является ли система LTI управляемой или нет, просто взглянув на пару $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$. Тогда можно сказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Пара $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ является управляемым.
2. The $n\times n$ матрица $${\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau$$ неособа ни для какого $t>0$.
3. The $n\times np$ матрица управляемости $${\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {B}}&\cdots &{\boldsymbol {A}}^{n-1}{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}$$ имеет ранг n.
4. The $n\times (n+p)$ матрица $${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}$$ имеет полный ранг строки для каждого собственного значения $\lambda$ из ${\boldsymbol {A}}$.

Если, кроме того, все собственные значения ${\boldsymbol {A}}$ имеют отрицательные действительные части ( ${\boldsymbol {A}}$ устойчиво), а единственное решение уравнения Ляпунова $${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}$$положительно определена, то система управляема. Решение называется Грамианом управляемости и может быть выражено как $${\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau$$

В следующем разделе мы более подробно рассмотрим Грамиан управляемости.

Управляемость Грамиан

Грамиан управляемости можно найти как решение уравнения Ляпунова вида $${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}$$

Фактически, мы можем увидеть это, если возьмем $${\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau$$в качестве решения мы найдем следующее: $${\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}&=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau +\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A}}^{T}d\tau \\[1ex]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}\left(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }\right)d\tau \\[1ex]&=\left.e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right|_{t=0}^{\infty }\\[1ex]&={\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB}}^{T}\\[1ex]&={\boldsymbol {-BB}}^{T}\end{aligned}}$$

Где мы использовали тот факт, что $e^{{\boldsymbol {A}}t}=0$ в $t=\infty$ для конюшни ${\boldsymbol {A}}$ (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что ${\boldsymbol {W}}_{c}$ действительно является решением рассматриваемого уравнения Ляпунова.

Характеристики

Мы можем видеть это ${\boldsymbol {BB^{T}}}$ является симметричной матрицей, следовательно, так же ${\boldsymbol {W}}_{c}$.

Мы можем снова использовать тот факт, что, если ${\boldsymbol {A}}$ устойчив (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что ${\boldsymbol {W}}_{c}$ является уникальным. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для $${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}$$и они даны ${\boldsymbol {W}}_{c1}$ и ${\boldsymbol {W}}_{c2}$. Тогда у нас есть: $${\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {0}}$$

Умножение на $e^{{\boldsymbol {A}}t}$ слева и мимо $e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}$ справа, приведет нас к $$e^{{\boldsymbol {A}}t}\left[{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A}}^{T}\right]e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}={\frac {d}{dt}}\left[e^{{\boldsymbol {A}}t}\left({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}\right)e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}\right]={\boldsymbol {0}}$$

Интеграция из $0$ к $\infty$: $$\left[e^{{\boldsymbol {A}}t}\left({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}\right)e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right]_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}$$используя тот факт, что $e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0$ как $t\to \infty$: $${\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}$$

Другими словами, ${\boldsymbol {W}}_{c}$ должен быть уникальным.

Также мы можем видеть это $${\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\,dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\right\Vert _{2}^{2}dt$$положителен для любого t (при условии невырожденности случая, когда $\left\Vert {\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\right\Vert$ не является тождественным нулем). Это делает ${\boldsymbol {W}}_{c}$ положительно определенная матрица.

Дополнительные свойства управляемых систем можно найти у Чена (1999 , стр. 145 ), а также доказательство других эквивалентных утверждений «Пары $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ является управляемым», представленном в разделе «Управляемость в LTI-системах».

Дискретные системы времени

Для систем дискретного времени, таких как $${\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}[k+1]&={\boldsymbol {Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]&={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{aligned}}$$

Можно проверить, что существуют эквивалентности утверждения «Пара $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ является управляемым» (эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).

Нас интересует эквивалентность, которая утверждает, что если «Пара $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ управляема» и все собственные значения ${\boldsymbol {A}}$ иметь величину меньше $1$ ( ${\boldsymbol {A}}$ устойчиво), то единственное решение $$W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {BB}}^{T}$$положительно определен и определяется выражением $${\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}\left({\boldsymbol {A}}^{T}\right)^{m}$$

Это называется дискретным Грамианом управляемости. Мы можем легко увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть, если мы сможем проверить, что ${\boldsymbol {W}}_{dc}$ положительно определена, и все собственные значения ${\boldsymbol {A}}$ иметь величину меньше $1$, система $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ является управляемым. Дополнительные свойства и доказательства можно найти у Чена (1999 , стр. 169 ).

Линейные системы, изменяющиеся во времени

Системы с линейным временным вариантом (LTV) имеют вид: $${\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{aligned}}$$

То есть матрицы ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$ и ${\boldsymbol {C}}$ есть записи, которые меняются со временем. Опять же, как и в случае непрерывного времени, так и в случае дискретного времени, может быть интересно выяснить, существует ли система, заданная парой $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))$ контролируема она или нет. Это можно сделать аналогично предыдущим случаям.

Система $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))$ контролируется во времени $t_{0}$ тогда и только тогда, когда существует конечное $t_{1}>t_{0}$ такой, что $n\times n$ матрица, также называемая Грамианом управляемости, определяемая формулой $${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,$$где ${\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$ - матрица перехода состояний ${\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}$, является неособым.

Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система управляемой системой.

Свойства W _c ( t ₀ , t ₁ )

Мы имеем, что Грамиан управляемости ${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})$ иметь следующее свойство: $${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)$$это легко увидеть по определению ${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})$ и свойством матрицы перехода состояний, которая утверждает, что: $${\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$$

Дополнительную информацию о Грамиане управляемости можно найти у Чена (1999 , стр. 176 ).

См. также

• Управляемость
• Наблюдаемость Грамиана
• Матрица Грамиана
• Минимальный контроль энергии
• Единственное значение Ганкеля

Ссылки

• Чен, Чи-Цонг (1999). Теория и проектирование линейных систем, третье издание . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-511777-8 .

Внешние ссылки

• Функция Mathematica для вычисления грамиана управляемости