Минимальный контроль энергии

В теории управления минимальным энергетическим управлением является управление $u(t)$ что приведет линейную инвариантную ко времени систему к желаемому состоянию с минимальными затратами энергии.

Пусть линейная инвариантная во времени (LTI) система будет

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)$

с начальным состоянием $x(t_{0})=x_{0}$. Человек ищет вход $u(t)$ чтобы система находилась в состоянии $x_{1}$ во время $t_{1}$и для любого другого ввода ${\bar {u}}(t)$, который также управляет системой из $x_{0}$ к $x_{1}$ во время $t_{1}$, затраты энергии будут больше, т.е.

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\bar {u}}^{*}(t){\bar {u}}(t)dt\ \geq \ \int _{t_{0}}^{t_{1}}u^{*}(t)u(t)dt.$

Чтобы выбрать этот вход, сначала вычислите Грамиан управляемости.

$W_{c}(t)=\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{*}e^{A^{*}(t-\tau )}d\tau .$

Предполагая $W_{c}$ несингулярна (тогда и только тогда, когда система управляема), тогда минимальное управление энергией равно

$u(t)=-B^{*}e^{A^{*}(t_{1}-t)}W_{c}^{-1}(t_{1})[e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}-x_{1}].$

Подстановка в раствор

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

проверяет достижение состояния $x_{1}$ в $t_{1}$.

См. также

• Теория систем LTI
• Техника управления
• Пространство состояний (управление)
• Вариационное исчисление