Линейная нестационарная система

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции и временную инвариантность для детерминированной системы с одним входом и одним выходом, работающей в непрерывном времени. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и является инвариантной во времени тогда и только тогда, когда y ₃ ( t ) = a ₁ y ₁ ( t – t ₀ ) + a ₂ y ₂ ( t – t ₀ ) для всего времени t , для всех действительных константы a ₁ , a ₂ , t ₀ и для всех входов x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) . Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

В системном анализе , среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени ( LTI ) система — это система , которая создает выходной сигнал из любого входного сигнала, подчиняющегося ограничениям линейности и инвариантности во времени ; эти термины кратко определены ниже . Эти свойства применимы (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае реакция y ( t ) системы на произвольный входной сигнал x ( t ) может быть найдена непосредственно с помощью свертки : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) , где h ( t ) системы называется импульсной характеристикой , а ∗ представляет собой свертку (не путать с умножением). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определение h ( t ) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно сложнее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь , состоящая из резисторов , конденсаторов , катушек индуктивности и линейных усилителей .

Линейная теория систем, не зависящая от времени, также используется при обработке изображений , где системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы можно назвать линейными трансляционно-инвариантными, чтобы придать терминологии наиболее общий охват. В случае общих с дискретным временем (т. е. дискретных систем линейный инвариант сдвига ) соответствующим термином является . Теория систем LTI — это область прикладной математики , которая имеет непосредственное применение в анализе и проектировании электрических схем , обработке сигналов и проектировании фильтров , теории управления , машиностроении , обработке изображений , разработке измерительных приборов различных , ЯМР-спектроскопии. и многие другие технические области, где системы обыкновенных дифференциальных уравнений встречаются .

Обзор

Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность времени .

• Линейность означает, что взаимосвязь между входными $x(t)$ и вывод $y(t)$, поскольку обе рассматриваются как функции, является линейным отображением: Если $a$ является константой, то выход системы в $ax(t)$ является $ay(t)$; если $x'(t)$ это дальнейший ввод с системным выводом $y'(t)$ затем вывод системы в $x(t)+x'(t)$ является $y(t)+y'(t)$, это применимо ко всем вариантам $a$, $x(t)$, $x'(t)$. Последнее условие часто называют принципом суперпозиции .
• Инвариантность во времени означает, что независимо от того, подаем ли мы входные данные в систему сейчас или через T секунд, выходные данные будут идентичными, за исключением временной задержки в T секунд. То есть, если выход из-за входа $x(t)$ является $y(t)$, то выход из-за ввода $x(t-T)$ является $y(t-T)$. Следовательно, система инвариантна ко времени, поскольку выходной сигнал не зависит от конкретного времени применения входных данных.

системы Фундаментальный результат теории систем LTI заключается в том, что любую систему LTI можно полностью охарактеризовать одной функцией, называемой импульсным откликом . Выход системы $y(t)$ это просто свертка входных данных в систему $x(t)$ с импульсной реакцией системы $h(t)$. Это называется системой непрерывного времени . Аналогично, линейная, инвариантная ко времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем определяется как система, действующая в дискретном времени : $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ где y , x и h — последовательности , а свертка в дискретное время использует дискретное суммирование, а не интеграл.

Связь между временной областью и частотной областью

Системы LTI также могут быть охарактеризованы в частотной области системы передаточной функцией , которая представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики системы (или Z-преобразование в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входного сигнала. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.

Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются комплексными экспонентами . Это если вход в систему представляет собой сигнал сложной формы. $A_{s}e^{st}$ для некоторой комплексной амплитуды $A_{s}$ и комплексная частота $s$, результат будет равен некоторому комплексному постоянному умножению на вход, скажем $B_{s}e^{st}$ для некоторой новой комплексной амплитуды $B_{s}$. Соотношение $B_{s}/A_{s}$ передаточная функция на частоте $s$.

Поскольку синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряженными частотами, то если на входе системы является синусоида, то на выходе системы также будет синусоида, возможно, с другой амплитудой и другой фазой , но всегда с той же частоты при достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут генерировать частотные компоненты, которых нет на входе.

Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются «легкими» для анализа, по крайней мере, по сравнению с изменяющимся во времени и/или нелинейным случаем. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи , состоящие из резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.

Большинство концепций систем LTI схожи в случаях с непрерывным и дискретным временем (линейным, инвариантным к сдвигу). При обработке изображений переменная времени заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется инвариантностью двумерного сдвига. При анализе банков фильтров и систем MIMO часто бывает полезно рассматривать векторы сигналов.

Линейную систему, которая не является инвариантной во времени, можно решить, используя другие подходы, такие как метод функции Грина .

Системы непрерывного времени

отклик

Поведение линейной, непрерывной, неизменной во времени системы с входным сигналом x ( t ) и выходным сигналом y ( t ) описывается интегралом свертки:

$y(t)=(x*h)(t)$	$\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau$
	$=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$       (с использованием коммутативности )

где ${\textstyle h(t)}$ это реакция системы на импульс : ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$. ${\textstyle y(t)}$ следовательно, пропорциональна средневзвешенному значению входной функции ${\textstyle x(\tau )}$. Весовая функция ${\textstyle h(-\tau )}$, просто сдвигается на сумму ${\textstyle t}$. Как ${\textstyle t}$ изменения, весовая функция подчеркивает различные части входной функции. Когда ${\textstyle h(\tau )}$ равен нулю для всех отрицательных ${\textstyle \tau }$, ${\textstyle y(t)}$ зависит только от значений ${\textstyle x}$ до времени ${\textstyle t}$и система называется причинной .

Чтобы понять, почему свертка дает результат системы LTI, пусть обозначение ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ представляют функцию ${\textstyle x(u-\tau )}$ с переменной ${\textstyle u}$ и постоянный ${\textstyle \tau }$. И пусть более короткая запись ${\textstyle \{x\}}$ представлять ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$. Затем система непрерывного времени преобразует входную функцию: ${\textstyle \{x\},}$ в выходную функцию, ${\textstyle \{y\}}$. И вообще, каждое выходное значение может зависеть от любого входного значения. Это понятие представлено:

$$y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},$$

где ${\textstyle O_{t}}$ — оператор преобразования времени ${\textstyle t}$. В типичной системе ${\textstyle y(t)}$ в наибольшей степени зависит от значений ${\textstyle x}$ это произошло недалеко от времени ${\textstyle t}$. Если само преобразование не изменится с ${\textstyle t}$, выходная функция просто постоянна, и система неинтересна.

Для линейной системы ${\textstyle O}$ должно удовлетворять уравнению 1 :

$O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .$ ( Уравнение 2 )

И требование неизменности времени:

${\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}$ ( Уравнение 3 )

В этих обозначениях мы можем записать импульсную характеристику как ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Сходным образом:

$h(t-\tau )$	$\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}$
	$=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$       (с использованием уравнения 3 )

Подставив этот результат в интеграл свертки:

$${\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}$$

которое имеет вид правой части уравнения 2 для случая ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ и ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

Тогда уравнение 2 допускает такое продолжение:

$${\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}$$

Таким образом, функция ввода, ${\textstyle \{x\}}$, может быть представлен континуумом сдвинутых во времени импульсных функций, объединенных «линейно», как показано в уравнении 1 . Свойство линейности системы позволяет представить реакцию системы соответствующим континуумом импульсных характеристик , объединенных таким же образом. А свойство временной инвариантности позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки.

Вышеописанные математические операции имеют простое графическое моделирование.

Экспоненты как собственные функции

Собственная функция — это функция, для которой выходные данные оператора представляют собой масштабированную версию той же функции. То есть,

$${\mathcal {H}}f=\lambda f,$$

где f — собственная функция и $\lambda$ — собственное значение , константа.

Показательные функции $Ae^{st}$, где $A,s\in \mathbb {C}$, являются собственными функциями , стационарного оператора линейного . Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что входной сигнал $x(t)=Ae^{st}$. Выход системы с импульсной характеристикой $h(t)$ тогда

$$\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau$$

что по коммутативному свойству свертки эквивалентно

$${\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}$$

где скаляр

$$H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$$

зависит только от параметра s .

Таким образом, ответ системы — это масштабированная версия ввода. В частности, для любого $A,s\in \mathbb {C}$, выход системы является продуктом входа $Ae^{st}$ и константа $H(s)$. Следовательно, $Ae^{st}$ является собственной функцией системы LTI, а соответствующее собственное значение равно $H(s)$.

Прямое доказательство

Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.

Давайте установим $v(t)=e^{i\omega t}$ некоторая сложная экспоненциальная и $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ его сдвинутая во времени версия.

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ по линейности по константе $e^{i\omega a}$.

$H[v_{a}](t)=H[v](t+a)$ по временной неизменности $H$.

Так $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$. Параметр $t=0$ и переименовав получим:

$$H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)$$

то есть, что комплексная экспонента $e^{i\omega \tau }$ поскольку входные данные будут давать комплексную экспоненту той же частоты, что и выходные данные.

и

Свойство экспоненты как собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа

$$H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$$

это именно способ получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (т. е. показательные функции вида $e^{j\omega t}$ где $\omega \in \mathbb {R}$ и $j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}$). Преобразование Фурье $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ дает собственные значения для чистых комплексных синусоид. оба из $H(s)$ и $H(j\omega )$ называются системной функцией , системным откликом или передаточной функцией .

Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю для всех значений t меньше некоторого значения. Обычно это «время начала» устанавливается равным нулю, для удобства и без потери общности, при этом интеграл преобразования принимается от нуля до бесконечности (показанное выше преобразование с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности формально известно как двустороннее преобразование Лапласа). трансформировать ).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, которые обрабатывают сигналы, которые имеют бесконечную протяженность, например модулированные синусоиды, хотя его нельзя напрямую применить к входным и выходным сигналам, которые не интегрируются с квадратом . Преобразование Лапласа фактически работает непосредственно для этих сигналов, если они равны нулю до момента начала, даже если они не интегрируются с квадратом, для стабильных систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов с помощью теоремы Винера – Хинчина, даже если преобразования Фурье сигналов не существуют.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования.

$$y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.$$

Можно напрямую использовать реакцию системы, чтобы определить, как система обрабатывает ту или иную конкретную частотную составляющую с помощью этого преобразования Лапласа. Если мы оценим отклик системы (преобразование Лапласа импульсной характеристики) на комплексной частоте s = jω , где ω = 2 πf , мы получим | ЧАС ( ы )| что является коэффициентом усиления системы для частоты f . Относительный сдвиг фазы между выходом и входом для этой частотной составляющей также определяется arg( H ( s )).

Примеры

• Простым примером оператора LTI является производная .
  • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)$ (т.е. оно линейно)
  • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ (т. е. оно инвариантно во времени)

  Когда выполняется преобразование Лапласа производной, она преобразуется в простое умножение на переменную Лапласа s .

  $${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)$$
  Тот факт, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, отчасти объясняет полезность этого преобразования.
• Еще один простой оператор LTI — оператор усреднения.
  $${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$$
  По линейности интегрирования
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}$$
  оно линейно. Кроме того, поскольку
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$$
  это инвариант времени. Фактически, ${\mathcal {A}}$ может быть записано как свертка с функцией boxcar $\Pi (t)$. То есть,
  $${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,$$
  где функция товарного вагона
  $$\Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$$

Важные свойства системы

Одними из наиболее важных свойств системы являются причинность и стабильность. Причинность необходима для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.

Причинно-следственная связь

Основная статья: Причинная система

Система является причинной, если результат зависит только от настоящего и прошлого, но не от будущих входов. Необходимым и достаточным условием причинности является

$$h(t)=0\quad \forall t<0,$$

где $h(t)$ это импульсный отклик. В общем случае невозможно определить причинность с помощью двустороннего преобразования Лапласа . Однако при работе во временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа , требующее причинности.

Стабильность

Основная статья: стабильность BIBO

Система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO-стабильная), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый входной сигнал удовлетворяет

$$\ \|x(t)\|_{\infty }<\infty$$

приводит к результату, удовлетворяющему

$$\ \|y(t)\|_{\infty }<\infty$$

(то есть конечное максимальное абсолютное значение $x(t)$ подразумевает конечное максимальное абсолютное значение $y(t)$), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что $h(t)$, импульсная характеристика, находится в L ¹ (имеет конечное L ¹ норма):

$$\|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .$$

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось $s=j\omega$.

Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, равной функции sinc , не является BIBO-стабильным, поскольку функция sinc не имеет конечного значения L. ¹ норма. Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот не ограничен. В частности, если входной сигнал равен нулю для $t<0$ и равна синусоиде на частоте среза для $t>0$, то выходной сигнал будет неограниченным во все времена, кроме пересечения нуля.

Системы дискретного времени

Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.

Системы дискретного времени из

Во многих контекстах система дискретного времени (DT) на самом деле является частью более крупной системы непрерывного времени (CT). Например, система цифровой записи принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.

В практических системах получаемые сигналы DT обычно представляют собой версии сигналов CT с однородной выборкой. Если $x(t)$ является сигналом CT, то схема выборки , используемая перед аналого-цифровым преобразователем, преобразует его в сигнал DT:

$$x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,$$

где T — период выборки . Перед дискретизацией входной сигнал обычно проходит через так называемый фильтр Найквиста , который удаляет частоты выше «частоты сгиба» 1/(2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любой частотный компонент выше частоты сгиба (или частоты Найквиста ) накладывается на другую частоту (таким образом искажая исходный сигнал), поскольку сигнал DT может поддерживать только частотные компоненты ниже частоты сгиба.

отклик

Позволять $\{x[m-k];\ m\}$ представляют последовательность $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$

И пусть более короткая запись $\{x\}$ представлять $\{x[m];\ m\}.$

Дискретная система преобразует входную последовательность, $\{x\}$ в выходную последовательность, $\{y\}.$ В общем, каждый элемент вывода может зависеть от каждого элемента ввода. Представляя оператор преобразования как $O$, мы можем написать:

$$y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.$$

Обратите внимание: если само преобразование не изменяется с изменением n , выходная последовательность остается постоянной, и система не представляет интереса. (Таким образом, нижний индекс n .) В типичной системе y [ n ] наиболее сильно зависит от элементов x , индексы которых близки к n .

В частном случае функции Кронекера дельта - $x[m]=\delta [m],$ выходная последовательность представляет собой импульсную характеристику :

$$h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.$$

Для линейной системы $O$ должен удовлетворять:

$O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.$ ( Уравнение 4 )

И требование неизменности времени:

${\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}$ ( Уравнение 5 )

В такой системе импульсная характеристика, $\{h\}$, характеризует систему полностью. То есть для любой входной последовательности выходную последовательность можно рассчитать с учетом входных данных и импульсной характеристики. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим тождество:

$$x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],$$

который выражает $\{x\}$ в терминах суммы взвешенных дельта-функций.

Поэтому:

$${\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}$$

где мы использовали уравнение 4 для случая $c_{k}=x[k]$ и $x_{k}[m]=\delta [m-k]$.

И благодаря уравнению 5 мы можем написать:

$${\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}$$

Поэтому:

$y[n]$	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]$
	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],$       ( коммутативность )

это знакомая формула дискретной свертки. Оператор $O_{n}$ поэтому можно интерпретировать как пропорциональное средневзвешенному значению функции x [ k ].Весовая функция равна h [− k ], просто сдвинутая на величину n . По мере изменения n весовая функция подчеркивает различные части входной функции. Аналогично, реакция системы на импульс при n = 0 представляет собой обращенную «временем» копию несмещенной весовой функции. Когда h [ k ] равно нулю для всех отрицательных k , система называется причинной .

Экспоненты как собственные функции

Собственная функция — это функция, для которой выходным сигналом оператора является та же функция, масштабированная некоторой константой. В символах,

$${\mathcal {H}}f=\lambda f,$$

где f — собственная функция и $\lambda$ — собственное значение , константа.

Показательные функции $z^{n}=e^{sTn}$, где $n\in \mathbb {Z}$, являются собственными функциями , стационарного оператора линейного . $T\in \mathbb {R}$ - интервал выборки, и $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию.

Предположим, что входной сигнал $x[n]=z^{n}$. Выход системы с импульсной характеристикой $h[n]$ тогда

$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}$$

что эквивалентно следующему согласно коммутативному свойству свертки

$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$$

где

$$H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$$

зависит только от параметра z .

Так $z^{n}$ является собственной функцией системы LTI, поскольку реакция системы такая же, как входное значение, умноженное на константу $H(z)$.

Z и преобразования Фурье

Свойство экспоненты как собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. преобразование Z-

$$H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$$

это именно способ получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды; т.е. экспоненты вида $e^{j\omega n}$, где $\omega \in \mathbb {R}$. Их также можно записать как $z^{n}$ с $z=e^{j\omega }$. ( Преобразование Фурье с дискретным временем DTFT) $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ дает собственные значения чистых синусоид . оба из $H(z)$ и $H(e^{j\omega })$ называются системной функцией , системным откликом или передаточной функцией .

Подобно одностороннему преобразованию Лапласа, Z-преобразование обычно используется в контексте односторонних сигналов, т.е. сигналов, которые равны нулю при t<0. Ряд Фурье с дискретным временем преобразования Фурье можно использовать для анализа периодических сигналов.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, дающая выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования. То есть,

$$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.$$

Как и в случае с передаточной функцией преобразования Лапласа в системном анализе в непрерывном времени, Z-преобразование упрощает анализ систем и понимание их поведения.

Примеры

• Простым примером оператора LTI является оператор задержки. $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$.
  • $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]$ (т.е. оно линейно)
  • $D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]$ (т. е. оно инвариантно во времени)

  Z-преобразование оператора задержки представляет собой простое умножение на z ⁻¹ . То есть,

  $${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$$
• Еще один простой оператор LTI — оператор усреднения.
  $${\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].$$
  Ввиду линейности сумм
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}$$
  и поэтому оно линейно. Потому что,
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}$$
  оно также инвариантно во времени.

Важные свойства системы

Характеристики ввода-вывода дискретной системы LTI полностью описываются ее импульсной характеристикой. $h[n]$.Двумя наиболее важными свойствами системы являются причинность и стабильность. Некаузальные (во времени) системы можно определить и проанализировать, как указано выше, но их нельзя реализовать в реальном времени. Нестабильные системы также можно анализировать и строить, но они полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой стабильна .

Причинно-следственная связь

Основная статья: Причинная система

Система LTI с дискретным временем является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущего значения и прошлых значений входа. Необходимым и достаточным условием причинности является

$$h[n]=0\ \forall n<0,$$

где $h[n]$ это импульсный отклик. В общем случае невозможно определить причинность с помощью Z-преобразования, поскольку обратное преобразование не уникально. . Когда область конвергенции указана , можно определить причинно-следственную связь.

Стабильность

Основная статья: стабильность BIBO

Система является стабильной с ограниченным входом и стабильным выходом (BIBO-стабильна), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если

$$\|x[n]\|_{\infty }<\infty$$

подразумевает, что

$$\|y[n]\|_{\infty }<\infty$$

(то есть, если ограниченный ввод подразумевает ограниченный выпуск, в том смысле, что максимальные абсолютные значения $x[n]$ и $y[n]$ конечны), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что $h[n]$, импульсная характеристика удовлетворяет

$$\|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .$$

В частотной области область сходимости должна содержать единичный круг (т. е. локус , удовлетворяющий $|z|=1$ для комплексного z ).

См. также

• Циркулирующая матрица
• Частотная характеристика
• Импульсный отклик
• Системный анализ
• Зеленая функция
• График потока сигналов

Ссылки

• Филлипс, Кл, Парр, Дж. М. и Рискин, Е. А. (2007). Сигналы, системы и преобразования . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-041207-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Эспанья, Япония (2009). Теория линейных систем . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14021-6 .
• Кратчфилд, Стив (12 октября 2010 г.), «Радость свертки» , Университет Джонса Хопкинса , получено 21 ноября 2010 г.
• Вайдьянатан, ПП; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в банках многоскоростных фильтров. Часть I: основы теории систем» (PDF) . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 43 (6): 1090. Бибкод : 1995ИТСП...43.1090В . дои : 10.1109/78.382395 .

Дальнейшее чтение

• Порат, Боаз (1997). Курс цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN  978-0-471-14961-3 .
• Вайдьянатан, ПП; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в банках многоскоростных фильтров. Часть I: основы теории систем» (PDF) . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 43 (5): 1090. Бибкод : 1995ИТСП...43.1090В . дои : 10.1109/78.382395 .

Внешние ссылки

• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI - Краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники фазового сдвига – дает интуитивное объяснение источника фазового сдвига в двух распространенных электрических системах LTI.
• JHU 520.214 Конспект курса «Сигналы и системы» . Инкапсулированный курс по теории систем LTI. Подходит для самообучения.
• Пример системы LTI: RC-фильтр нижних частот . Амплитудный и фазовый отклик.