Единая норма

Эта статья о норме функционального пространства. Чтобы узнать о конечномерном расстоянии в векторном пространстве, см. Расстояние Чебышева . Чтобы узнать о норме однородности в аддитивной комбинаторике, см. норму Гауэрса .

Периметр квадрата — это множество точек в ℝ ² где норма sup равна фиксированной положительной константе. Например, точки (2, 0) , (2, 1) и (2, 2) лежат по периметру квадрата и принадлежат множеству векторов, норма sup которых равна 2.

В математическом анализе единая норма (или sup норма ) присваивает действительным или комплекснозначным функциям ограниченным ⁠ $f$⁠ определено на множестве ⁠ $S$⁠ неотрицательное число

$\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.$

Эту норму еще называют высшая норма , т. Чебышевская , норма норма бесконечности , или, когда верхняя грань фактически является максимумом, максимум норма . Название «единая норма» происходит от того факта, что последовательность функций ⁠ $\left\{f_{n}\right\}$⁠ сходится к ⁠ $f$⁠ под метрикой, полученной из равномерной нормы , тогда и только тогда, когда ⁠ $f_{n}$⁠ сходится к ⁠ $f$⁠ uniformly .

Если ⁠ $f$⁠ — непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале или, в более общем смысле, на компактном множестве, то она ограничена, и супремум в приведенном выше определении достигается с помощью теоремы Вейерштрасса о крайних значениях , поэтому мы можем заменить супремум максимумом. В этом случае норму еще называют максимальная норма .В частности, если ⁠ $x$⁠ — некоторый вектор такой, что $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ в конечномерном координатном пространстве он принимает вид:

$\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).$

Это называется $\ell ^{\infty }$-норма .

Определение

Равномерные нормы определяются, вообще говоря, для ограниченных функций со значениями в нормированном пространстве . Позволять $X$ быть набором и пусть $(Y,\|\|_{Y})$ быть нормированным пространством . На съемочной площадке $Y^{X}$ функций из $X$ к $Y$, существует расширенная норма, определяемая формулой

$\|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].$

В общем случае это расширенная норма, поскольку функция $f$ может быть не ограничено. Ограничение этой расширенной нормы ограниченными функциями (т. е. функциями с конечной выше расширенной нормой) дает (конечнозначную) норму, называемую равномерной нормой на $Y^{X}$. Обратите внимание, что определение равномерной нормы не опирается на какую-либо дополнительную структуру на множестве. $X$, хотя на практике $X$ часто является, по крайней мере, топологическим пространством .

Конвергенция на $Y^{X}$ в топологии, индуцированной равномерной расширенной нормой, является равномерная сходимость для последовательностей, а также для сетей и фильтров на $Y^{X}$.

Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; Замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно замкнутыми , а замыкания — равномерными замыканиями . Равномерное замыкание множества функций A — это пространство всех функций, которые можно аппроксимировать последовательностью равномерно сходящихся функций на $A.$ Например, одна из формулировок теоремы Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что множество всех непрерывных функций на $[a,b]$ — равномерное замыкание множества полиномов на $[a,b].$

Для комплексных непрерывных функций над компактом это превращает ее в С*-алгебру (см. представление Гельфанда ).

Более слабые структуры, вызывающие топологию равномерной сходимости.

Единая метрика

Основная статья: Расстояние Чебышева

Равномерная метрика между двумя ограниченными функциями $f,g\colon X\to Y$ из набора $X$ в метрическое пространство $(Y,d_{Y})$ определяется

$d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))$

Равномерную метрику еще называют Метрика Чебышева , в честь Пафнутия Чебышева , который первым начал систематически ее изучать. В этом случае, $f$ ограничено именно тогда, когда $d(f,g)$ конечно для некоторой постоянной функции $g$. Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все же позволяет определить топологию в рассматриваемом функциональном пространстве; тогда сходимость все еще остается равномерной сходимостью . В частности, последовательность $\left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}$ сходится равномерно к функции $f$ тогда и только тогда, когда $$\lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,$$

Если $(Y,\|\|_{Y})$ является нормированным пространством , то оно является метрическим пространством естественным образом . Расширенная метрика $Y^{X}$ индуцированная равномерной расширенной нормой, совпадает с равномерной расширенной метрикой

$d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}$

на $Y^{X}$

Равномерность равномерной сходимости

См. также: Топологии на пространствах линейных отображений.

Позволять $X$ быть набором и пусть $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$ быть единым пространством . Последовательность $(f_{n})$ функций из $X$ к $Y$ говорят, что она сходится равномерно к функции $f$ если для каждого антуража $E\in {\mathcal {E}}_{Y}$ есть натуральное число $n_{0}$ такой, что, $(f_{n}(x),f(x))$ принадлежит $E$ в любое время $x\in X$ и $n\geq n_{0}$. Аналогично для сети. Это сходимость в топологии на $Y^{X}$. На самом деле наборы

$\{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}$

где $E$ проходит через окружение $Y$ образуют фундаментальную систему антуража единообразия на $Y^{X}$, называемая равномерностью равномерной сходимости на $Y^{X}$. Равномерная сходимость — это в точности сходимость при однородной топологии.

Если $(Y,d_{Y})$ является метрическим пространством , то оно по умолчанию снабжено метрической однородностью . Метрическая однородность по $Y^{X}$ относительно равномерной расширенной метрики, то это равномерность равномерной сходимости на $Y^{X}$.

Характеристики

Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, $c,$ образует поверхность гиперкуба с длиной ребра $2c.$

Причина индекса « $\infty$” это когда бы то ни было $f$ является непрерывным и $\Vert f\Vert _{p}<\infty$ для некоторых $p\in (0,\infty )$, затем $$\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },$$где $$\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}$$где $D$ является областью $f$; интеграл равен сумме, если $D$ — дискретное множество (см. p -norm ).

См. также

• L-бесконечность - Пространство ограниченных последовательностей
• Равномерная непрерывность – Равномерное ограничение изменения функций
• Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
• Расстояние Чебышева – Математическая метрика