Изолированная точка

В математике точка x $x$ называется изолированной точкой подмножества $S$ (в топологическом пространстве $X$ ), если $—$ элемент из $S$ и существует окрестность x $,$ не содержащая других точек $S.$ из Это эквивалентно утверждению, что { $x} является$ открытым множеством в топологическом пространстве $S$ (рассматриваемом как подпространство X $синглтон$ ). Другая эквивалентная формулировка: элемент $x$ из $S$ является изолированной точкой $S$ тогда и только тогда, когда он не является предельной точкой $S$ .

Если пространство $X$ является метрическим пространством , например евклидовым пространством , то элемент $x$ из $S$ является изолированной точкой $S$ существует открытый шар , если вокруг $x$ который содержит только конечное число элементов $S.$ , Множество точек , состоящее только из изолированных точек, называется дискретным множеством или дискретным множеством точек (см. также дискретное пространство ).

Связанные понятия [ править ]

Любое дискретное подмножество $S$ евклидова пространства должно быть счетным , поскольку изоляция каждой из его точек вместе с тем фактом, что рациональные числа плотны в действительных числах, означает, что точки $S$ могут быть инъективно отображены на множество точек с рациональными координатами, которых существует лишь счетное множество. Однако не каждое счетное множество дискретно, каноническим примером которого являются рациональные числа в обычной евклидовой метрике.

Множество, не имеющее изолированной точки, называется плотным в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки множества). без Замкнутое множество изолированной точки называется совершенным множеством (оно содержит все свои предельные точки и не содержит изолированных точек).

Число изолированных точек является топологическим инвариантом если два топологических пространства $X, Y$ гомеоморфны , т. е . , количество изолированных точек в каждом одинаково.

Примеры [ править ]

Стандартные примеры [ править ]

Топологические пространства в следующих трех примерах рассматриваются как подпространства вещественной прямой со стандартной топологией.

Для набора $S=\{0\}\cup [1,2],$ точка 0 является изолированной точкой.
Для набора $S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},$ каждая из точек ${\tfrac {1}{k}}$ является изолированной точкой, но $0$ есть другие точки, $не является изолированной точкой, поскольку в S$ максимально близкие к $0$ .
Набор $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ натуральных чисел является дискретным множеством.

В топологическом пространстве $X=\{a,b\}$ с топологией $\tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},$ элемент $a$ является изолированной точкой, хотя $b$ относится закрытию к $\{a\}$ (и поэтому в некотором смысле «близок» к $a$ ). Такая ситуация невозможна в хаусдорфовом пространстве .

Лемма Морса утверждает, что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.

Два нелогичных примера [ править ]

Рассмотрим множество $F$ точек $x$ в вещественном интервале $(0,1)$ такое, что каждая цифра $x i$ их двоичного представления удовлетворяет следующим условиям:

Или $x_{i}=0$ или $x_{i}=1.$
$x_{i}=1$ только для конечного числа индексов $i$ .
Если $m$ обозначает наибольший индекс такой, что $x_{m}=1,$ затем $x_{m-1}=0.$
Если $x_{i}=1$ и $i<m,$ тогда выполняется ровно одно из следующих двух условий: $x_{i-1}=1$ или $x_{i+1}=1.$

Неформально эти условия означают, что каждая цифра двоичного представления числа $x$ равное 1, принадлежит паре ...0110..., за исключением ...010... в самом конце.

Теперь $F$ — явное множество, состоящее полностью из изолированных точек, но обладающее противоречивым свойством: его замыкание является несчетным множеством . ^[1]

Другой набор $F$ с теми же свойствами можно получить следующим образом. Пусть $C$ средней трети — канторово множество , пусть $I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots$ быть компонентными интервалами $[0,1]-C$ , и пусть $F$ — множество, состоящее из одной точки из каждого $I k$ . Поскольку каждое $I k$ содержит только одну точку из $F$ , каждая точка $F$ является изолированной точкой. Однако если $p$ — любая точка множества Кантора, то каждая окрестность $p$ содержит хотя бы один $I k$ и, следовательно, хотя бы одну точку из $F$ . Отсюда следует, что каждая точка канторового множества лежит в замыкании $F$ и, следовательно, $F$ имеет несчетное замыкание.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гомес-Рамирес, Дэнни (2007), «Явный набор изолированных точек в R с несчетным замыканием» , Математика: университетское преподавание , 15 , Escuela Regional de Mathematics. Университет дель Валле, Колумбия: 145–147.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Изолированная точка» . Математический мир .

[1] Гомес-Рамирес, Дэнни (2007), «Явный набор изолированных точек в R с несчетным замыканием» , Математика: университетское преподавание , 15 , Escuela Regional de Mathematics. Университет дель Валле, Колумбия: 145–147.

[1]