Плотный сам по себе

В общей топологии подмножество $A$ топологическое пространство называется плотным в себе или многолюдно если $A$ не имеет изолированной точки .Эквивалентно, $A$ плотен сам по себе, если каждая точка $A$ является предельной точкой $A$.Таким образом $A$ является плотным в себе тогда и только тогда, когда $A\subseteq A'$, где $A'$ представляет собой производный набор $A$.

Плотное в себе замкнутое множество называется совершенным . (Другими словами, идеальное множество — это замкнутое множество без изолированной точки.)

Понятие плотного множества отличается от понятия «плотного в себе» . Иногда это может сбивать с толку, поскольку « X плотно в X » (всегда верно) — это не то же самое, что « X плотно в себе» (нет изолированной точки).

Примеры

Простым примером множества, которое является плотным в себе, но не замкнутым (и, следовательно, не идеальным множеством), является набор иррациональных чисел (рассматриваемый как подмножество действительных чисел ). Это множество плотно само по себе, поскольку каждая окрестность иррационального числа $x$ содержит хотя бы еще одно иррациональное число $y\neq x$. С другой стороны, множество иррациональных чисел не замкнуто, поскольку каждое рациональное число лежит в его замыкании . Точно так же множество рациональных чисел также плотно само по себе, но не замкнуто в пространстве действительных чисел.

Приведенные выше примеры, иррациональные и рациональные числа, также являются плотными множествами в своем топологическом пространстве, а именно $\mathbb {R}$. В качестве примера, который плотен сам по себе, но не плотен в своем топологическом пространстве, рассмотрим $\mathbb {Q} \cap [0,1]$. Это множество не является плотным по $\mathbb {R}$ но плотный сам по себе.

Свойства

Одноэлементное подмножество пространства $X$ никогда не может быть плотным в себе, потому что в нем изолирована его единственная точка.

Плотные в себе подмножества любого пространства замкнуты относительно объединений . В плотном в себе пространстве они включают в себя все открытые множества . В плотном в себе они _{пространстве} T1 включают все плотные множества . Однако пространства, отличные от T _1, могут иметь плотные подмножества, которые не являются плотными сами по себе: например, в плотном в себе пространстве $X=\{a,b\}$ с недискретной топологией множество $A=\{a\}$ плотен, но не плотен сам по себе.

Замыкание любого плотного в себе множества является совершенным множеством .

В общем случае пересечение двух плотных в себе множеств не является плотным в себе. Но пересечение плотного в себе множества и открытого множества является плотным в себе.

См. также

• Нигде не плотный набор
• Глоссарий топологии
• Плотный порядок

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Куратовский, К. (1966). Топология Том. Я. ​Академическая пресса. ISBN  012429202X .
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .

Эта статья включает в себя материал из Dense in the PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .