Идеальный набор

В общей топологии подмножество топологического пространства является совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек . Эквивалентно: набор $S$ идеально, если $S=S'$ , где $S'$ обозначает множество всех предельных точек $S$ , также известный как производный набор $S$ .

В идеальном множестве каждая точка может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована другими точками из множества: для любой точки $S$ и в любой окрестности точки существует другая точка $S$ это находится в пределах района. Более того, любая точка пространства, которую можно таким образом аппроксимировать точками $S$ принадлежит $S$ .

Обратите внимание, что термин «совершенное пространство» также несовместимо используется для обозначения других свойств топологического пространства, таких как G _δ пространство . В качестве еще одного возможного источника путаницы отметим также, что наличие свойства совершенного множества — это не то же самое, что быть идеальным множеством.

Примеры

Примеры совершенных подмножеств реальной прямой $\mathbb {R}$ — это пустое множество , все замкнутые интервалы , сама вещественная прямая и множество Кантора . Последний примечателен тем, что он полностью отключен .

Совершенно или нет множество (и замкнуто оно или нет) зависит от окружающего пространства. Например, набор $S=[0,1]\cap \mathbb {Q}$ идеально подходит как подмножество пространства $\mathbb {Q}$ но не идеален как подмножество пространства $\mathbb {R}$ он не закрывается . , поскольку в последнем

Связь с другими топологическими свойствами

Каждое топологическое пространство можно уникальным образом записать как непересекающееся объединение совершенного и рассеянного множеств . ^[1]^[2]

Кантор доказал, что каждое замкнутое подмножество действительной прямой можно однозначно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества . Это также верно в более общем смысле для всех замкнутых подмножеств польских пространств , и в этом случае теорема известна как теорема Кантора-Бендиксона .

Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество действительной прямой имеет мощность. $2^{\aleph _{0}}$ , мощность континуума . Эти результаты расширены в дескриптивной теории множеств следующим образом:

Если X — полное метрическое пространство без изолированных точек, то канторово пространство 2 ^ой может быть непрерывно в X. вложено Таким образом, X имеет мощность не менее $2^{\aleph _{0}}$ . Если X — сепарабельное полное метрическое пространство без изолированных точек, мощность X в точности равна $2^{\aleph _{0}}$ .
Если X — локально компактное хаусдорфово пространство без изолированных точек, существует инъективная функция (не обязательно непрерывная) из канторова пространства в X , и поэтому X имеет мощность не менее $2^{\aleph _{0}}$ .

См. также

Примечания

^ Энгелькинг, задача 1.7.10, с. 59
^ «Уникальность разложения на совершенное множество и рассеянное множество — Stack Overflow на русском

Ссылки

Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4 .
Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
Леви, А. (1979), Теория базовых множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
Перл, Эллиотт, изд. (2007), Открытые проблемы топологии. II , Эльзевир , ISBN 978-0-444-52208-5 , МР 2367385

[1] Энгелькинг, задача 1.7.10, с. 59

[2] «Уникальность разложения на совершенное множество и рассеянное множество — Stack Overflow на русском

[1]

[2]