Идеальный набор
В общей топологии подмножество топологического пространства является совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек . Эквивалентно: набор идеально, если , где обозначает множество всех предельных точек , также известный как производный набор .
В идеальном множестве каждая точка может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована другими точками из множества: для любой точки и в любой окрестности точки существует другая точка это находится в пределах района. Более того, любая точка пространства, которую можно таким образом аппроксимировать точками принадлежит .
Обратите внимание, что термин «совершенное пространство» также несовместимо используется для обозначения других свойств топологического пространства, таких как G δ пространство . В качестве еще одного возможного источника путаницы отметим также, что наличие свойства совершенного множества — это не то же самое, что быть идеальным множеством.
Примеры
[ редактировать ]Примеры совершенных подмножеств реальной прямой — это пустое множество , все замкнутые интервалы , сама вещественная прямая и множество Кантора . Последний примечателен тем, что он полностью отключен .
Совершенно или нет множество (и замкнуто оно или нет) зависит от окружающего пространства. Например, набор идеально подходит как подмножество пространства но не идеален как подмножество пространства он не закрывается . , поскольку в последнем
Связь с другими топологическими свойствами
[ редактировать ]Каждое топологическое пространство можно уникальным образом записать как непересекающееся объединение совершенного и рассеянного множеств . [1] [2]
Кантор доказал, что каждое замкнутое подмножество действительной прямой можно однозначно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества . Это также верно в более общем смысле для всех замкнутых подмножеств польских пространств , и в этом случае теорема известна как теорема Кантора-Бендиксона .
Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество действительной прямой имеет мощность. , мощность континуума . Эти результаты расширены в дескриптивной теории множеств следующим образом:
- Если X — полное метрическое пространство без изолированных точек, то канторово пространство 2 ой может быть непрерывно в X. вложено Таким образом, X имеет мощность не менее . Если X — сепарабельное полное метрическое пространство без изолированных точек, мощность X в точности равна .
- Если X — локально компактное хаусдорфово пространство без изолированных точек, существует инъективная функция (не обязательно непрерывная) из канторова пространства в X , и поэтому X имеет мощность не менее .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Энгелькинг, задача 1.7.10, с. 59
- ^ «Уникальность разложения на совершенное множество и рассеянное множество — Stack Overflow на русском
Ссылки
[ редактировать ]- Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4 .
- Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
- Леви, А. (1979), Теория базовых множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
- Перл, Эллиотт, изд. (2007), Открытые проблемы топологии. II , Эльзевир , ISBN 978-0-444-52208-5 , МР 2367385