Jump to content

Идеальный набор

В общей топологии подмножество топологического пространства является совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек . Эквивалентно: набор идеально, если , где обозначает множество всех предельных точек , также известный как производный набор .

В идеальном множестве каждая точка может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована другими точками из множества: для любой точки и в любой окрестности точки существует другая точка это находится в пределах района. Более того, любая точка пространства, которую можно таким образом аппроксимировать точками принадлежит .

Обратите внимание, что термин «совершенное пространство» также несовместимо используется для обозначения других свойств топологического пространства, таких как G δ пространство . В качестве еще одного возможного источника путаницы отметим также, что наличие свойства совершенного множества — это не то же самое, что быть идеальным множеством.

Примеры совершенных подмножеств реальной прямой — это пустое множество , все замкнутые интервалы , сама вещественная прямая и множество Кантора . Последний примечателен тем, что он полностью отключен .

Совершенно или нет множество (и замкнуто оно или нет) зависит от окружающего пространства. Например, набор идеально подходит как подмножество пространства но не идеален как подмножество пространства он не закрывается . , поскольку в последнем

Связь с другими топологическими свойствами

[ редактировать ]

Каждое топологическое пространство можно уникальным образом записать как непересекающееся объединение совершенного и рассеянного множеств . [1] [2]

Кантор доказал, что каждое замкнутое подмножество действительной прямой можно однозначно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества . Это также верно в более общем смысле для всех замкнутых подмножеств польских пространств , и в этом случае теорема известна как теорема Кантора-Бендиксона .

Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество действительной прямой имеет мощность. , мощность континуума . Эти результаты расширены в дескриптивной теории множеств следующим образом:

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Энгелькинг, задача 1.7.10, с. 59
  2. ^ «Уникальность разложения на совершенное множество и рассеянное множество — Stack Overflow на русском
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0ad6d8d8de961447ba8e653b3220fd49__1719787560
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0a/49/0ad6d8d8de961447ba8e653b3220fd49.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Perfect set - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)