Рассеянное пространство

В математике рассеянное пространство — это топологическое пространство X , не содержащее непустого плотного в себе подмножества. ^[1]^[2] Эквивалентно, каждое непустое подмножество A в X содержит точку, изолированную в A .

Подмножество топологического пространства называется рассеянным множеством, если оно представляет собой рассеянное пространство с топологией подпространства .

Примеры

Каждое дискретное пространство разбросано.
Каждое порядковое число с порядковой топологией разбросано. Действительно, каждое непустое подмножество A содержит минимальный элемент, и этот элемент изолирован в A .
Пространство X с определенной точечной топологией , в частности пространство Серпинского , рассеяно. Это пример рассеянного пространства, которое не является T ₁ пространством .
Замыкание рассеянного множества не обязательно является рассеянным. Например, в евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ возьмем счетное бесконечное дискретное множество A в единичном круге , причем точки становятся все плотнее и плотнее по мере приближения к границе. Например, возьмем объединение вершин ряда из n -угольников с центром в начале координат, радиус которого становится все ближе и ближе к 1. Тогда замыкание A будет содержать весь круг радиуса 1, который является плотным в сам.

Характеристики

В топологическом пространстве X замыкание плотного в себе подмножества является совершенным множеством . Таким образом, X рассеяно тогда и только тогда, когда оно не содержит ни одного непустого совершенного множества.
Каждое подмножество рассеянного пространства рассеяно. Рассеянность – это наследственное свойство .
Каждое рассеянное пространство X является T ₀ пространством . ( Доказательство: учитывая две различные точки x , y в X , по крайней мере одна из них, скажем x , будет изолирована в $\{x,y\}$ . есть окрестность x Это означает, что в X , не содержащая y .)
В пространстве Т ₀ объединение двух рассеянных множеств рассеяно. ^[3]^[4] T ₀Заметим, что здесь необходимо предположение . Например, если $X=\{a,b\}$ с недискретной топологией , $\{a\}$ и $\{b\}$ оба рассеяны, но их союз, $X$ , не рассеян, так как не имеет изолированной точки.
Каждое _{T 1} рассеянное пространство полностью несвязно .
( Доказательство: если C — непустое связное подмножество X , оно содержит точку x, изолированную в C. Таким образом, одноэлементное $\{x\}$ одновременно открыт в C (поскольку x изолирован) и закрыт в C (из-за свойства T ₁ ). Поскольку C подключен, он должен быть равен $\{x\}$ . Это показывает, что каждый компонент связности X имеет одну точку.)
Каждое второе счетное рассеянное пространство счетно . ^[5]
Каждое топологическое пространство X можно уникальным образом записать как непересекающееся объединение совершенного и рассеянного множеств. ^[6]^[7]
Каждое второе счетное пространство X можно единственным образом записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного рассеянного открытого множества.
( Доказательство: используйте совершенное + рассеянное разложение и приведенный выше факт о втором счетном разбросанном пространстве, а также тот факт, что подмножество второго счетного пространства является вторым счетным пространством.)
Более того, каждое замкнутое подмножество второго счетного X можно однозначно записать как непересекающееся объединение совершенного подмножества X и счетного рассеянного подмножества X . ^[8] Это справедливо, в частности, в любом польском пространстве , что является содержанием теоремы Кантора-Бендиксона .