Идеальная недвижимость

В математической области описательной теории множеств подмножество . польского пространства обладает свойством идеального множества , если оно либо счетно , либо имеет непустое совершенное подмножество (Кехрис 1995, стр. 150) Обратите внимание, что иметь свойство совершенного набора — это не то же самое, что быть идеальным набором .

Поскольку непустые совершенные множества в польском пространстве всегда имеют мощность континуума , а вещественные числа образуют польское пространство, набор вещественных чисел со свойством совершенного множества не может быть контрпримером к гипотезе континуума , сформулированной в форме, что каждое несчетное множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

Теорема Кантора -Бендиксона утверждает, что замкнутые множества польского пространства X обладают свойством совершенного множества в особенно сильной форме: любое замкнутое подмножество X можно однозначно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества. В частности, каждое несчетное польское пространство обладает свойством совершенного множества и может быть записано как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного открытого множества .

Аксиома выбора подразумевает существование множеств действительных чисел, которые не обладают свойством совершенного множества, таких как множества Бернштейна . Однако в модели Соловея , которая удовлетворяет всем аксиомам ZF , но не аксиоме выбора, каждый набор действительных чисел обладает свойством идеального множества, поэтому использование аксиомы выбора необходимо. Каждое аналитическое множество обладает свойством совершенного множества. Из существования достаточно больших кардиналов следует , что каждое проективное множество обладает свойством совершенного множества.

Обобщения [ править ]

Позволять $\omega _{1}$ быть наименьшим неисчисляемым ординалом . В аналоге пространства Бэра, полученном из $\omega _{1}$ -кратное декартово произведение $\omega _{1}$ само с собой любое замкнутое множество представляет собой дизъюнктное объединение $\omega _{1}$ -совершенное множество и множество мощности $\leq \aleph _{1}$ , где $\omega _{1}$ -замкнутость множества определяется посредством топологической игры , в которой члены множества $\omega _{1}^{\omega _{1}}$ играются. ^[1]

Ссылки [ править ]

Кекрис, Александр С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9

Цитаты [ править ]

^ Й. Вяэнянен, « Теорема Кантора-Бендиксона для пространства $\omega _{1}^{\omega _{1}}$ ". Математические основы т. 137, вып. 3, стр. 187--199 (1991).

[1] Й. Вяэнянен, « Теорема Кантора-Бендиксона для пространства $\omega _{1}^{\omega _{1}}$ ". Математические основы т. 137, вып. 3, стр. 187--199 (1991).

[1]