Точка присоединения
В математике — точка присоединения (также точка замыкания , точка замыкания или точка контакта ). [1] из подмножества пространства топологического это точка в каждая окрестность такие, что (или, что то же самое, каждая открытая окрестность ) содержит хотя бы одну точку точка является точкой крепления для тогда и только тогда, когда в закрытии находится таким образом
- тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств если
Это определение отличается от определения предельной точки множества тем, что для предельной точки требуется, чтобы каждая окрестность множества содержит хотя бы одну точку отличается от Таким образом, каждая предельная точка является присоединенной точкой, но обратное неверно. Приверженная точка является либо предельной точкой или элемент (или оба). Точка присоединения, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой .
Интуитивно, имея открытое множество определяется как область внутри (но не включая) некоторой границы, точки соприкосновения являются те из включая границу.
Примеры и достаточные условия
[ редактировать ]Если является непустым подмножеством ограниченное сверху, то верхняя грань придерживается В интервале является точкой присоединения, не лежащей в интервале, с топологией обычной
Подмножество метрического пространства содержит все свои точки присоединения тогда и только тогда, когда ( последовательно ) замыкается в
Точки присоединения и подпространства
[ редактировать ]Предполагать и где является топологическим подпространством (то есть, наделено топологией подпространства, индуцированной на нем ). Затем является точкой соприкосновения в тогда и только тогда, когда является точкой соприкосновения в
Доказательство |
---|
Следовательно, является точкой соприкосновения в тогда и только тогда, когда это верно для в каждом (или, альтернативно, в некотором) топологическом суперпространстве
Точки присоединения и последовательности
[ редактировать ]Если является подмножеством топологического пространства, то предел сходящейся последовательности в не обязательно принадлежит однако это всегда точка соприкосновения Позволять будет такой последовательностью и пусть быть его пределом. Тогда по определению предела для всех окрестностей из существует такой, что для всех В частности, а также так является точкой соприкосновения В отличие от предыдущего примера, предел сходящейся последовательности в не обязательно является предельной точкой ; например, рассмотрим как подмножество Тогда единственная последовательность в это постоянная последовательность чей предел но не является предельной точкой это всего лишь точка соприкосновения
См. также
[ редактировать ]- Закрытое множество - дополнение открытого подмножества.
- Замыкание (топология) - все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
- Предел последовательности - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
- Предельная точка набора — точка кластера в топологическом пространстве.
- Последующий предел - предел некоторой подпоследовательности.
Примечания
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ Стин, с. 5; Липшуц, с. 69; Адамсон, с. 15.
Ссылки
[ редактировать ]- Адамсон, Иэн Т., Учебное пособие по общей топологии , Birkhäuser Boston; 1-е издание (29 ноября 1995 г.). ISBN 978-0-8176-3844-3 .
- Апостол, Том М. , Математический анализ , Аддисон Уэсли Лонгман; второе издание (1974 г.). ISBN 0-201-00288-4
- Липшуц, Сеймур ; «Очерк общей топологии» Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN 0-07-037988-2 .
- Л. А. Стин , Дж. А. Сибах-младший , Контрпримеры в топологии , (1970) Холт, Райнхарт и Winston, Inc..
- В эту статью включены материалы из сайта Adherent Point на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .