Jump to content

Точка присоединения

В математике точка присоединения (также точка замыкания , точка замыкания или точка контакта ). [1] из подмножества пространства топологического это точка в каждая окрестность такие, что (или, что то же самое, каждая открытая окрестность ) содержит хотя бы одну точку точка является точкой крепления для тогда и только тогда, когда в закрытии находится таким образом

тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств если

Это определение отличается от определения предельной точки множества тем, что для предельной точки требуется, чтобы каждая окрестность множества содержит хотя бы одну точку отличается от Таким образом, каждая предельная точка является присоединенной точкой, но обратное неверно. Приверженная точка является либо предельной точкой или элемент (или оба). Точка присоединения, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой .

Интуитивно, имея открытое множество определяется как область внутри (но не включая) некоторой границы, точки соприкосновения являются те из включая границу.

Примеры и достаточные условия

[ редактировать ]

Если является непустым подмножеством ограниченное сверху, то верхняя грань придерживается В интервале является точкой присоединения, не лежащей в интервале, с топологией обычной

Подмножество метрического пространства содержит все свои точки присоединения тогда и только тогда, когда ( последовательно ) замыкается в

Точки присоединения и подпространства

[ редактировать ]

Предполагать и где является топологическим подпространством (то есть, наделено топологией подпространства, индуцированной на нем ). Затем является точкой соприкосновения в тогда и только тогда, когда является точкой соприкосновения в

Доказательство

By assumption, and Assuming that let be a neighborhood of in so that will follow once it is shown that The set is a neighborhood of in (by definition of the subspace topology) so that implies that Thus as desired. For the converse, assume that and let be a neighborhood of in so that will follow once it is shown that By definition of the subspace topology, there exists a neighborhood of in such that Now implies that From it follows that and so as desired.

Следовательно, является точкой соприкосновения в тогда и только тогда, когда это верно для в каждом (или, альтернативно, в некотором) топологическом суперпространстве

Точки присоединения и последовательности

[ редактировать ]

Если является подмножеством топологического пространства, то предел сходящейся последовательности в не обязательно принадлежит однако это всегда точка соприкосновения Позволять будет такой последовательностью и пусть быть его пределом. Тогда по определению предела для всех окрестностей из существует такой, что для всех В частности, а также так является точкой соприкосновения В отличие от предыдущего примера, предел сходящейся последовательности в не обязательно является предельной точкой ; например, рассмотрим как подмножество Тогда единственная последовательность в это постоянная последовательность чей предел но не является предельной точкой это всего лишь точка соприкосновения

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Стин, с. 5; Липшуц, с. 69; Адамсон, с. 15.
  • Адамсон, Иэн Т., Учебное пособие по общей топологии , Birkhäuser Boston; 1-е издание (29 ноября 1995 г.). ISBN   978-0-8176-3844-3 .
  • Апостол, Том М. , Математический анализ , Аддисон Уэсли Лонгман; второе издание (1974 г.). ISBN   0-201-00288-4
  • Липшуц, Сеймур ; «Очерк общей топологии» Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN   0-07-037988-2 .
  • Л. А. Стин , Дж. А. Сибах-младший , Контрпримеры в топологии , (1970) Холт, Райнхарт и Winston, Inc..
  • В эту статью включены материалы из сайта Adherent Point на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: cad43ef0a56211b13995033660b181f2__1710905040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ca/f2/cad43ef0a56211b13995033660b181f2.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Adherent point - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)