Случайное неравенство Витале Брунна – Минковского

В математике — случайное неравенство Брунна–Минковского Витале это теорема Ричарда Витале , которая обобщает классическое неравенство Брунна–Минковского для компактных подмножеств n - мерного евклидова пространства R. ^н случайным компактам .

Формулировка неравенства

Пусть X — случайный компакт в R ^н ; то есть борелевская измеримая функция некоторого вероятностного пространства ) в пространство непустых подмножеств компактных из R (Ω, Σ, Pr ^н оснащен метрикой Хаусдорфа . V Случайный вектор : Ω → R ^н называется выбором X , если Pr( V ∈ X ) = 1. Если K — непустое компактное подмножество R ^н , позволять

$\|K\|=\max \left\{\left.\|v\|_{\mathbb {R} ^{n}}\right|v\in K\right\}$

и определим многозначное ожидание E[ X ] от X как

$\mathrm {E} [X]=\{\mathrm {E} [V]|V{\mbox{ is a selection of }}X{\mbox{ and }}\mathrm {E} \|V\|<+\infty \}.$

Обратите внимание, что E[ X ] является подмножеством R ^н . В этих обозначениях случайное неравенство Брунна–Минковского Витале состоит в том, что для любого случайного компакта X с $E[\|X\|]<+\infty$,

$\left(\mathrm {vol} _{n}\left(\mathrm {E} [X]\right)\right)^{1/n}\geq \mathrm {E} \left[\mathrm {vol} _{n}(X)^{1/n}\right],$

где " $vol_{n}$"обозначает n -мерную меру Лебега .

Связь с неравенством Брунна – Минковского

Если X принимает значения (непустые компактные множества) K и L с вероятностями 1 − λ и λ соответственно, то случайное неравенство Брунна–Минковского Витале представляет собой просто исходное неравенство Брунна–Минковского для компактных множеств.

Ссылки

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 39 (3): 355–405 (электронный). дои : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
• Витале, Ричард А. (1990). «Неравенство Брунна-Минковского для случайных множеств» . J. Многомерный анал . 33 (2): 286–293. дои : 10.1016/0047-259X(90)90052-J .