Теорема о монотонной сходимости

В математической области реального анализа теорема о монотонной сходимости — это любая из ряда связанных с ней теорем, доказывающих сходимость монотонных последовательностей последовательностей ( убывающих или возрастающих ), которые также являются ограниченными . Неформально, теоремы утверждают, что если последовательность возрастает и ограничена сверху супремумом , то последовательность будет сходиться к супремуму; точно так же, если последовательность убывает и ограничена снизу нижней границей , она будет сходиться к нижней границе.

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Лемма 1

Если последовательность действительных чисел возрастает и ограничена сверху, то ее верхняя грань является пределом.

Доказательство

Позволять $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ такая последовательность, и пусть $\{a_{n}\}$ быть набором условий $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. По предположению, $\{a_{n}\}$ непусто и ограничено сверху. По имеющим наименьшую верхнюю границу , свойству действительных чисел, ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ существует и конечен. Теперь для каждого $\varepsilon >0$, существует $N$ такой, что $a_{N}>c-\varepsilon$, поскольку в противном случае $c-\varepsilon$ является верхней границей $\{a_{n}\}$, что противоречит определению $c$. Тогда с тех пор $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ увеличивается, и $c$ является его верхней границей для каждого $n>N$, у нас есть $|c-a_{n}|\leq |c-a_{N}|<\varepsilon$. Следовательно, по определению предел $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ является ${\textstyle \sup _{n}\{a_{n}\}.}$

Лемма 2

Если последовательность действительных чисел убывает и ограничена снизу, то ее нижняя грань является пределом.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству для случая, когда последовательность возрастает и ограничена сверху.

Теорема

Если $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ является монотонной последовательностью действительных чисел (т. е. если n _n ≤ a _{1 +1} для каждого ≥ a n _{n ≥ 1 или n} +1 для _{каждого n} ≥ ) , то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда последовательность ограничена .

Доказательство

• «Если»-направление: Доказательство следует непосредственно из лемм.
• Направление «только если»: согласно (ε, δ)-определению предела каждая последовательность $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ с конечным пределом $L$ обязательно ограничено.

Сходимость монотонного ряда

Теорема

Если для всех натуральных чисел и k a j j _{, k является} неотрицательным действительным числом и a _{j , k} ≤ a _{j +1, k} , то

$\lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}.$

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел такая, что

1. столбцы слабо возрастающие и ограниченные, а
2. для каждой строки ряд , члены которого заданы этой строкой, имеет сходящуюся сумму,

тогда предел сумм строк равен сумме ряда, член которого k задается пределом столбца k (который также является его верхней границей ). Ряд имеет сходящуюся сумму тогда и только тогда, когда (слабо возрастающая) последовательность сумм строк ограничена и, следовательно, сходится.

В качестве примера рассмотрим бесконечную серию строк

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}},$

где n стремится к бесконечности (предел этого ряда — e ). Здесь запись матрицы в строке n и столбце k равна

${\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}};$

столбцы (фиксированное k ) действительно слабо возрастают с ростом n и ограничены (по 1/ k !), тогда как строки имеют только конечное число ненулевых членов, поэтому условие 2 удовлетворено; теперь теорема гласит, что вы можете вычислить предел сумм строк $(1+1/n)^{n}$ взяв сумму пределов столбца, а именно ${\frac {1}{k!}}$.

Лемма Беппо Леви

Следующий результат принадлежит Беппо Леви , который в 1906 году доказал небольшое обобщение более раннего результата Анри Лебега . Далее, $\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ обозначает $\sigma$-алгебра Бореля устанавливает $[0,+\infty ]$. По определению, $\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ содержит набор $\{+\infty \}$ и все борелевские подмножества $\mathbb {R} _{\geq 0}.$

Теорема

Позволять $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры , и $X\in \Sigma$. Рассмотрим поточечную неубывающую последовательность $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ из $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$- измеримые неотрицательные функции $f_{k}:X\to [0,+\infty ]$, то есть для каждого ${k\geq 1}$ и каждый ${x\in X}$,

$0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \infty .$

Установите поточечный супремум последовательности $\{f_{n}\}$ быть $f$. То есть для каждого $x\in X$,

$f(x):=\sup _{k\to \infty }f_{k}(x).$

Затем $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримые и

$\sup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .$

Замечание 1. Интегралы и верхняя грань могут быть конечными и бесконечными.

Замечание 2. В условиях теоремы

1. $\textstyle f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k}f_{k}(x)=\liminf _{k}f_{k}(x)=\lim _{k}f_{k}(x)$
2. $\textstyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\textstyle \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$

(Заметим, что вторая цепочка равенств следует из монотности интеграла (лемма 2 ниже).

Замечание 3. Теорема остается верной, если выполнены ее предположения. $\mu$-почти везде. Другими словами, достаточно того, что существует нулевое множество $N$ такая, что последовательность $\{f_{n}(x)\}$ не уменьшается для каждого ${x\in X\setminus N}.$ Чтобы понять, почему это так, начнем с наблюдения, которое позволяет последовательности $\{f_{n}\}$ точечное неубывание почти всюду приводит к его точечному пределу $f$ быть неопределенным в некотором нулевом множестве $N$. В этом нулевом наборе $f$ тогда может быть определена произвольно, например, как ноль, или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат теоремы, заметим, что, поскольку ${\mu (N)=0},$ у нас есть для каждого $k,$

$\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu$ и $\int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,$

при условии, что $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримый. (Эти равенства следуют непосредственно из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Замечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорему можно использовать для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Доказательство

Это доказательство не опирается на лемму Фату ; однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму. Те, кого не интересует такая независимость доказательства, могут пропустить приведенные ниже промежуточные результаты.

Промежуточные результаты

Нам понадобятся две основные леммы В приведенном ниже доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. замечание 4),

лемма 1 (монотонность интеграла Лебега). пусть функции $f,g:X\to [0,+\infty ]$ быть $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримый.

• Если $f\leq g$ везде на $X,$ затем

$\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .$

• Если $X_{1},X_{2}\in \Sigma$ и $X_{1}\subseteq X_{2},$ затем

$\int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .$

Доказательство. Обозначим через $\operatorname {SF} (h)$ набор простых $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримые функции $s:X\to [0,\infty )$ такой, что $0\leq s\leq h$ везде на $X.$

1. Поскольку $f\leq g,$ у нас есть

$\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).$

По определению интеграла Лебега и свойств супремума

$\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .$

2. Пусть ${\mathbf {1} }_{X_{1}}$ быть индикаторной функцией множества $X_{1}.$ Из определения интеграла Лебега можно вывести, что

$\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu$

если мы заметим, что для каждого $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),$ $s=0$ за пределами $X_{1}.$ В сочетании с предыдущим свойством неравенство $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$ подразумевает

$\int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .$

как

Лемма 1. Пусть $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ быть измеримым пространством. Рассмотрим простой $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримая неотрицательная функция $s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}$. Для подмножества $S\subseteq \Omega$, определять

$\nu (S)=\int _{S}s\,d\mu .$

Затем $\nu$ это мера по $\Omega$.

Монотонность следует из леммы 1. Здесь мы докажем только счетную аддитивность, оставив все остальное на усмотрение читателя. Позволять $S=\coprod _{i=1}^{\infty }S_{i}$, быть разложением $S$ как счетное попарно непересекающееся объединение измеримых подмножеств $S_{i}$. Писать

$s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{k}},$

для конечного числа $n$ неотрицательных констант $c_{k}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}$ и измеримые множества $A_{k}\in \Sigma$. По определению интеграла Лебега

${\begin{aligned}\nu (S)&=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot \mu (S\cap A_{k})\\&=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot \mu \left(\left(\coprod _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)\cap A_{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot \mu \left(\coprod _{i=1}^{\infty }(S_{i}\cap A_{k})\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i}\cap A_{k})\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot \mu (S_{i}\cap A_{k})\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\nu (S_{i})\end{aligned}}$

по мере необходимости.Здесь мы использовали это для фиксированного $k$, все наборы $S_{i}\cap A_{k}$ попарно не пересекаются, счетная аддитивность $\mu$ и тот факт, что, поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, будь то конечная или бесконечная, не зависит от порядка суммирования, и поэтому суммирования можно менять местами.

«Непрерывность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Пусть $\mu$ быть мерой, и $S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}$, где

$S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S$

— неубывающая цепь со всеми своими множествами $\mu$-измеримый. Затем

$\mu (S)=\sup _{i}\mu (S_{i}).$

Доказательство теоремы

Доказательство может быть основано на лемме Фату вместо прямого доказательства, поскольку лемму Фату можно доказать независимо от теоремы о монотонной сходимости. Измеримость следует непосредственно, и решающее «обратное неравенство» (шаг 3) является прямым следствием неравенства

$\int _{X}\liminf _{k}f_{k}(x)\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

Однако теорема о монотонной сходимости в некотором смысле более примитивна, чем лемма Фату, и следующее прямое доказательство.

Обозначим через $\operatorname {SF} (f)$ набор простых $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримые функции $s:X\to [0,\infty )$ ( $\infty$ и не включен!) такой, что $0\leq s\leq f$ на $X$.

Шаг 1. Функция $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$– измеримый, а интеграл $\textstyle \int _{X}f\,d\mu$ четко определен (хотя, возможно, бесконечен)

Поскольку из $0\leq f_{k}\leq \infty$ мы получаем $0\leq f(x)\leq \infty$, поэтому достаточно показать, что $f$ измерима. Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что прообраз отрезка $[0,t]$ под $f$ является элементом сигма-алгебры $\Sigma$ на $X$. Это потому, что интервалы $[0,t]$ с $0\leq t\leq \infty$ сгенерировать сигма-алгебру Бореля на расширенных неотрицательных действительных числах $[0,\infty ]$ счетным пересечением и объединением. Поскольку $f_{k}(x)$ является неубывающей последовательностью

$f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad f_{k}(x)\leq t\ \ \forall k.$

Поэтому, поскольку $f\geq 0$ и $f_{k}\geq 0$

$f^{-1}([0,t])=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([0,t]).$

Следовательно $f^{-1}([0,t])$ представляет собой измеримое множество, являющееся счетным пересечением измеримых множеств, каждое из которых является обратным образом борелевского множества при $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримая функция $f_{k}$. Это показывает, что $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримый.

С $f\geq 0$ интеграл определяется как sup

$\int _{X}f\,d\mu =\sup {s\in SF(f)}s(x)\,d\mu$

над простыми функциями и, таким образом, четко определен, но sup может быть бесконечным.

Шаг 2. Имеем неравенство

$\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu$

Это следует непосредственно из монотонности интеграла и определения супремума: поскольку $f_{k}(x)\leq f(x)$ у нас есть $\int _{X}f_{k}\,d\mu .\leq \int _{X}f\,d\mu$, следовательно $\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .\leq \int _{X}f\,d\mu$.

Шаг 3. Имеем обратное неравенство

$\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \geq \int _{X}f\,d\mu$.

Нам нужна дополнительная техника.

Учитывая простую функцию $s\in \operatorname {SF} (f)$ и положительное действительное число $0<t<1$, определять

$B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.$

Затем $B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}$ потому что последовательность $f_{k}(x)$ не уменьшается. Более того $\textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}$ потому что либо $f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=0$ и $s(x)=f_{k}(x)=0$ для всех $k$, или $ts(x)<f(x)$ и $ts(x)\leq f_{k}(x)$ для $k\gg 0$.

шаг 3(а). Набор $B_{k}^{s,t}$ измерима.

Чтобы увидеть это из первых принципов, напишите $s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}$, для некоторого конечного набора неотрицательных констант $c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}$и измеримые множества $A_{i}\in \Sigma$ которые, как мы можем предположить, попарно не пересекаются и имеют объединение $\textstyle X=\coprod _{i=1}^{m}A_{i}$ (здесь ${\mathbf {1} }_{A_{i}}$ обозначает индикаторную функцию множества $A_{i}$). Тогда, если $x\in A_{i}$ у нас есть $t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)$ тогда и только тогда, когда $f_{k}(x)\in [t\cdot c_{i},+\infty ].$. Поэтому

$B_{k}^{s,t}=\coprod _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}.$

который с момента $f_{k}$ измеримы, представляет собой объединение (непересекающихся) измеримых множеств

Шаг 3(б). Для каждого простого $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримая неотрицательная функция $s_{2}$,

$\sup _{k}\int _{B_{k}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .$

Чтобы доказать это, определим $\textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu$. По лемме 1 $\nu (S)$ это мера по $\Omega$. По «непрерывности снизу» (лемма 2)

$\sup _{k}\int _{B_{k}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\sup _{k}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (\cup _{k}B_{k}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu ,$

по мере необходимости.

Шаг 3(в). Теперь мы докажем, что для каждого $s\in \operatorname {SF} (f)$,

$\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

Действительно, используя определение $B_{k}^{s,t}$, монотонность интеграла Лебега и неотрицательность $f_{k}$ у нас есть

$\int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,$

для каждого $k\geq 1$. Следовательно, на этапе 3(b):

$\int _{X}t\cdot s\,d\mu =\sup _{k}\int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$

Поскольку левая часть представляет собой конечную сумму, мы получаем

$t\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$

и принимая предел как $t\uparrow 1$ урожайность

$\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu ,$

по мере необходимости.

Шаг 3(г). Обратное неравенство, т.е.

$\int _{X}f\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

Действительно, на шаге 3(c)

$\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in SF(f)}s\,d\mu \leq \sup _{k}f_{k}\,d\mu$

Доказательство завершено.

предположения

При гипотезах, аналогичных теореме Беппо Леви, можно ослабить гипотезу монотонности. Как и раньше, пусть $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры и $X\in \Sigma$. Снова, $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ будет представлять собой последовательность $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$- измеримые неотрицательные функции $f_{k}:X\to [0,+\infty ]$. Однако мы не предполагаем, что они точечно не убывают. Вместо этого мы предполагаем, что ${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ сходится почти для каждого $x$, мы определяем $f$ быть поточечным пределом $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$, и мы дополнительно предполагаем, что $f_{k}\leq f$ точечно почти везде для всех $k$. Затем $f$ является $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримый, -и ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ существует, и

$$\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .$$

Как и ранее, измеримость следует из того, что ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}}$ почти везде. Тогда замена пределов и интегралов является простым следствием леммы Фату. У одного есть

$$\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu$$

по лемме Фату, а затем по стандартным свойствам пределов и монотонности,

$$\liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .$$

Поэтому ${\textstyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu }$, и оба равны ${\textstyle \int _{X}f\,d\mu }$. Отсюда следует, что ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ существует и равен ${\textstyle \int _{X}f\,d\mu }$.

См. также

• Бесконечная серия
• Теорема о доминируемой сходимости