Простая функция

В математической области реального анализа простая функция — это действительная (или комплексная ) функция над подмножеством действительной линии , аналогичная ступенчатой ​​функции . Простые функции достаточно «хороши», и их использование упрощает математические рассуждения, теории и доказательства. Например, простые функции принимают только конечное число значений. Некоторые авторы также требуют, чтобы простые функции были измеримыми ; при использовании на практике они неизменно таковы.

Базовым примером простой функции является функция пола на полуоткрытом интервале [1, 9), единственными значениями которой являются {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Более сложный пример — функция Дирихле над действительной линией, которая принимает значение 1, если x рационально, и 0 в противном случае. (Таким образом, слово «простой» в слове «простая функция» имеет техническое значение, несколько расходящееся с общепринятым языком.) Все ступенчатые функции просты.

Простые функции используются в качестве первого этапа разработки теорий интегрирования , таких как интеграл Лебега , потому что для простой функции легко определить интегрирование, а также легко аппроксимировать более общие функции последовательностями простых функций.

Определение

Формально простая функция — это конечная линейная комбинация индикаторных функций измеримых множеств . Точнее, пусть ( X , Σ) — измеримое пространство . Пусть A ₁ , ..., An _a ∈ Σ — последовательность непересекающихся измеримых множеств, и пусть 1 _, ..., an _n — последовательность действительных или комплексных чисел . – Простая функция это функция $f:X\to \mathbb {C}$ формы

$f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),$

где ${\mathbf {1} }_{A}$ – индикаторная функция множества A .

Свойства простых функций

Сумма, разность и произведение двух простых функций снова являются простыми функциями, а умножение на константу делает простую функцию простой; отсюда следует, что совокупность всех простых функций на данном измеримом пространстве образует коммутативную алгебру над $\mathbb {C}$.

Интеграция простых функций

Если мера µ определена в пространстве ( X , Σ), интеграл от f по µ равен

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),$

если все слагаемые конечны.

к

Приведенный выше интеграл простых функций можно расширить до более общего класса функций, как и интеграл Лебега определяется . Это расширение основано на следующем факте.

Теорема . Любая неотрицательная измеримая функция $f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}$ является поточечным пределом монотонной возрастающей последовательности неотрицательных простых функций.

Это подразумевается в утверждении, что сигма-алгебра в кообласти $\mathbb {R} ^{+}$ является ограничением борелевской σ-алгебры ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ к $\mathbb {R} ^{+}$. Доказательство проводится следующим образом. Позволять $f$ быть неотрицательной измеримой функцией, определенной в пространстве меры $(X,\Sigma ,\mu )$. Для каждого $n\in \mathbb {N}$, разделите совместную область $f$ в $2^{2n}+1$ интервалы, $2^{2n}$ из которых имеют длину $2^{-n}$. То есть для каждого $n$, определять

$I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)$ для $k=1,2,\ldots ,2^{2n}$, и $I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )$,

которые не пересекаются и покрывают неотрицательную вещественную прямую ( $\mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N}$).

Теперь определим множества

$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,$ для $k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,$

которые измеримы ( $A_{n,k}\in \Sigma$) потому что $f$ предполагается измеримым.

Тогда возрастающая последовательность простых функций

$f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}$

сходится поточечно к $f$ как $n\to \infty$. Обратите внимание, что когда $f$ ограничена, сходимость равномерна.

См. также

Измеримая функция Бохнера

Ссылки

• Дж. Ф. К. Кингман, С. Дж. Тейлор . Введение в меру и вероятность , 1966, Кембридж.
• С. Ланг . Реальный и функциональный анализ , 1993, Springer-Verlag.
• В. Рудин . Реальный и комплексный анализ , 1987, МакГроу-Хилл.
• Х. Л. Ройден . Реальный анализ , 1968, Кольер Макмиллан.