Функция Дирихле

В математике функция Дирихле ^[1]^[2] индикаторная функция $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }$ множества рациональных чисел $\mathbb {Q}$ , то есть $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1$ если $x$ — рациональное число и $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0$ если $x$ не является рациональным числом (т.е. является иррациональным числом ).

\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}

Он назван в честь математика Петера Густава Лежена Дирихле . ^[3] Это пример патологической функции , которая дает противоположные примеры многим ситуациям.

Топологические свойства [ править ]

Функция Дирихле нигде не непрерывна .
Доказательство
- Если $y$ рационально, то $f (y) = 1$ . Чтобы показать, что функция не является непрерывной в точке $y$ , нам нужно найти $ε$ такое, что независимо от того, насколько малым мы выберем $δ$ , найдутся точки $z$ в пределах $δ$ от $y,$ такие что $f (z)$ не находится в пределах $ε$ от $f (y) = 1$ . Фактически, 1 ⁄ 2 — такое $ε$ . Поскольку иррациональные числа плотны δ в действительных числах, независимо от того, какое $мы$ выбираем, мы всегда можем найти иррациональное $z$ в пределах $δ$ от $y$ , и $f (z) = 0$ не менее 1/2 . 1 от
- Если $y$ иррационально, то $f (y) = 0$ . Опять же, мы можем взять $ε = 1 ⁄ 2$ , и на этот раз, поскольку рациональные числа плотны в действительных числах, мы можем выбрать $z$ как рациональное число, настолько близкое к $y$ , насколько это необходимо. Опять же, $f (z) = 1$ больше, чем 1 ⁄ 2 от $ж (y) знак равно 0$ .
Его ограничения на множество рациональных чисел и на множество иррациональных чисел постоянны и, следовательно, непрерывны. Функция Дирихле является архетипическим примером теоремы Блюмберга .
Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом: $\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$ для целых чисел $j$ и $k$ . Это показывает, что функция Дирихле является функцией Бэра класса 2. Она не может быть функцией класса 1 по Бэру, поскольку функция класса 1 по Бэру может быть разрывной только на скудном множестве . ^[4]

Периодичность [ править ]

Для любого действительного числа $x$ положительного рационального числа $T$ и любого $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ . Таким образом, функция Дирихле является примером действительной периодической функции , которая не является постоянной , но набор периодов которой, набор рациональных чисел, является плотным подмножеством $\mathbb {R}$ .

Свойства интеграции [ править ]

Функция Дирихле не интегрируема по Риману ни на каком сегменте $\mathbb {R}$ несмотря на то, что он ограничен, поскольку множество его точек разрыва не является пренебрежимо малым (для меры Лебега ).
Функция Дирихле представляет собой контрпример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости неверна в контексте интеграла Римана.
Доказательство
Используя перечисление рациональных чисел от 0 до 1, мы определяем функцию $f n$ (для всех неотрицательных целых чисел $n$ ) как индикаторную функцию множества первых $n$ членов этой последовательности рациональных чисел. Возрастающая последовательность функций $f n$ (неотрицательных, интегрируемых по Риману с нулевым интегралом) поточечно сходится к функции Дирихле, которая не интегрируется по Риману.
Функция Дирихле интегрируема по Лебегу на $\mathbb {R}$ и его интеграл по $\mathbb {R}$ равен нулю, поскольку он равен нулю, за исключением множества рациональных чисел, которым можно пренебречь (для меры Лебега).

См. также [ править ]

Функция Томаэ — вариация, разрывная только в рациональных числах.

Ссылки [ править ]

^ «Дирихле-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Функция Дирихле - из MathWorld
^ Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в заданных пределах» . Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.
^ Данэм, Уильям (2005). Галерея исчисления . Издательство Принстонского университета . п. 197. ИСБН 0-691-09565-5 .

[1] «Дирихле-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[2] Функция Дирихле - из MathWorld

[3] Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в заданных пределах» . Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.

[4] Данэм, Уильям (2005). Галерея исчисления . Издательство Принстонского университета . п. 197. ИСБН 0-691-09565-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]