Функция Бэра

В математике функции Бэра — это функции, полученные из непрерывных функций трансфинитной итерацией операции формирования поточечных пределов последовательностей функций. Они были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году. Множество Бэра — это множество, характеристическая функция которого является функцией Бэра.

функций Классификация Бэра

Функции Бэра класса α для любого счетного порядкового числа α образуют векторное пространство функций, вещественных определенных на топологическом пространстве следующим образом. ^[1]

Функции класса 0 по Бэру являются непрерывными функциями .
Функции класса 1 по Бэру — это функции, которые являются пределом последовательности поточечным функций класса 0 по Бэру.
В общем случае α-функции класса Бэра — это все функции, которые являются поточечным пределом последовательности функций класса Бэра меньше α.

Некоторые авторы определяют классы несколько иначе, удаляя все функции класса меньше α из функций класса α. Это означает, что каждая функция Бэра имеет четко определенный класс, но функции данного класса больше не образуют векторное пространство.

Анри Лебег доказал, что (для функций на единичном интервале ) каждый класс Бэра счетного порядкового числа содержит функции, не принадлежащие какому-либо меньшему классу, и что существуют функции, которые не входят ни в один класс Бэра.

Бэр 1 класс [ править ]

Примеры:

Производная x любой дифференцируемой функции относится к классу 1. Примером дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной (при = 0), является функция, равная $x^{2}\sin(1/x)$ когда x ≠ 0, и 0, когда x = 0. Бесконечная сумма подобных функций (масштабированных и смещенных на рациональные числа ) может даже дать дифференцируемую функцию, производная которой разрывна на плотном множестве. Однако он обязательно имеет точки непрерывности, что легко следует из характеризационной теоремы Бэра (ниже; возьмем K = X = R ).
Характеристическая функция множества целых чисел , равная 1, если x — целое число, и 0 в противном случае. (Бесконечное количество больших разрывов.)
Функция Томаэ , равная 0 для иррационального x и 1/ q для рационального числа p / q (в сокращенной форме). (Плотное множество разрывов, а именно множество рациональных чисел.)
Характеристическая функция множества Кантора , равная 1, если x находится в множестве Кантора, и 0 в противном случае. Эта функция равна 0 для несчетного набора значений x и 1 для несчетного набора. Он разрывен везде, где он равен 1, и непрерывен там, где он равен 0. Он аппроксимируется непрерывными функциями $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ , где $d(x,C)$ — расстояние x от ближайшей точки множества Кантора.

что вещественнозначная функция f, определенная в пространстве X, является функцией Бэра-1 тогда и только тогда, когда для каждого непустого замкнутого подмножества K в X ограничение f на банаховом Теорема о характеризации Бэра утверждает , K имеет точку непрерывности относительно к топологии К.

По другой теореме Бэра для каждой функции Бэра-1 точки непрерывности представляют собой G δ ₍ множество Kechris 1995 , теорема (24.14)).

Бэр 2 класс [ править ]

Примером функции Бэра класса 2 на интервале [0,1], которая не относится к классу 1, является характеристическая функция рациональных чисел: $\chi _{\mathbb {Q} }$ , также известная как функция Дирихле , которая всюду разрывна .

Доказательство

Приведем два доказательства.

В этом можно убедиться, заметив, что для любого конечного набора рациональных чисел характеристической функцией этого набора является Бэра 1, а именно функция $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,K)})$ сходится тождественно к характеристической функции $K$ , где $K$ представляет собой конечный набор рациональных чисел. Поскольку рациональные числа счетны, мы можем посмотреть на поточечный предел этих вещей. $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ , где $r_{n}$ представляет собой перечисление рациональных чисел. Это не Бэра-1 по упомянутой выше теореме: множество разрывов есть весь интервал (разумеется, множество точек непрерывности не сходится).
Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом:

\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \chi _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)

для целых чисел j и k .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Бэр, Рене-Луи (1899). О функциях действительных переменных (доктор философии). Высшая нормальная школа.
Бэр, Рене-Луи (1905), «Уроки разрывных функций», преподаваемые в Коллеж де Франс , Готье-Виллар .
Кекрис, Александр С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Springer-Verlag .

Встроенные ссылки [ править ]

^ Т. Джех, « О дивный новый мир детерминированности » (загрузка в формате PDF). Бюллетень Американского математического общества, том. 5, номер 3, ноябрь 1981 г. (стр. 339–349).

Внешние ссылки [ править ]

Статья в математической энциклопедии Springer о классах Бэра

[1] Т. Джех, « О дивный новый мир детерминированности » (загрузка в формате PDF). Бюллетень Американского математического общества, том. 5, номер 3, ноябрь 1981 г. (стр. 339–349).

[1]

функций Классификация ​ Бэра