Проекционная мера

В математике , особенно в функциональном анализе , проекционнозначная мера (или спектральная мера ) — это функция, определенная на определенных подмножествах фиксированного множества и значения которой являются самосопряженными проекциями на фиксированное гильбертово пространство . Проекционная мера (PVM) формально аналогична вещественной мере , за исключением того, что ее значения представляют собой самосопряженные проекции, а не действительные числа. можно интегрировать комплексные функции Как и в случае с обычными мерами, по PVM ; результатом такого интегрирования является линейный оператор в данном гильбертовом пространстве.

Проекционнозначные меры используются для выражения результатов в спектральной теории , таких как важная спектральная теорема для самосопряженных операторов , и в этом случае PVM иногда называют спектральной мерой . Борелевское функциональное исчисление для самосопряженных операторов строится с использованием интегралов по ПВМ. В квантовой механике PVM представляют собой математическое описание проективных измерений . Они обобщаются с помощью положительных операторно-значных мер (POVM) в том же смысле, в каком смешанное состояние или матрица плотности обобщают понятие чистого состояния .

Определение

Позволять $H$ обозначаем сепарабельное комплексное гильбертово пространство и $(X,M)$ измеримое пространство , состоящее из множества $X$ и борелевская σ-алгебра $M$ на $X$. Проекционная мера $\pi$ это карта из $M$ множеству ограниченных самосопряженных операторов на $H$ удовлетворяющий следующим свойствам:

• $\pi (E)$ является ортогональной проекцией для всех $E\in M.$
• $\pi (\emptyset )=0$ и $\pi (X)=I$, где $\emptyset$ пустое множество и $I$ идентификации оператор .
• Если $E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc$ в $M$ не пересекаются, то для всех $v\in H$,

$\pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.$

• $\pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})$ для всех $E_{1},E_{2}\in M.$

Второе и четвертое свойства показывают, что если $E_{1}$ и $E_{2}$ непересекающиеся, т.е. $E_{1}\cap E_{2}=\emptyset$, изображения $\pi (E_{1})$ и $\pi (E_{2})$ ортогональны . друг другу

Позволять $V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))$ и его ортогональное дополнение $V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))$ обозначаем образ и ядро ​​соответственно $\pi (E)$. Если $V_{E}$ является замкнутым подпространством $H$ затем $H$ можно записать как ортогональное разложение $H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }$ и $\pi (E)=I_{E}$ это уникальный оператор идентификации на $V_{E}$ удовлетворяющий всем четырем свойствам.

Для каждого $\xi ,\eta \in H$ и $E\in M$ проекционная мера образует комплексную меру на $H$ определяется как

$\mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle$

с общей вариацией не более $\|\xi \|\|\eta \|$. Оно сводится к действительной мере , когда

$\mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle$

и вероятностная мера , когда $\xi$ является единичным вектором .

Пример Пусть $(X,M,\mu )$ является σ -конечным пространством с мерой и для всех $E\in M$, позволять

$\pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)$

быть определен как

$\psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,$

т.е. как умножение на индикаторную функцию $1_{E}$ на Л ² ( ИКС ) . Затем $\pi (E)=1_{E}$ определяет проекционную меру. Например, если $X=\mathbb {R}$, $E=(0,1)$, и $\phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ тогда существует соответствующая комплексная мера $\mu _{\phi ,\psi }$ которая принимает измеримую функцию $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ и дает интеграл

$\int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx$

прогнозных

Если π — проекционнозначная мера на измеримом пространстве ( X , M ), то отображение

$\chi _{E}\mapsto \pi (E)$

продолжается до линейного отображения векторного пространства ступенчатых функций на X . На самом деле легко проверить, что это отображение является кольцевым гомоморфизмом . Это отображение каноническим образом распространяется на все ограниченные комплекснозначные измеримые функции на X , и мы имеем следующее.

Теорема . Для любой ограниченной борелевской функции $f$ на $X$, существует единственный ограниченный оператор $T:H\to H$ такой, что

$\langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.$

где $\mu _{\xi }$ является конечной борелевской мерой , заданной формулой

$\mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.$

Следовательно, $(X,M,\mu )$ является пространством с конечной мерой .

Теорема верна и для неограниченных измеримых функций $f$ но потом $T$ будет неограниченным линейным оператором в гильбертовом пространстве $H$.

Это позволяет определить борелевское функциональное исчисление для таких операторов, а затем перейти к измеримым функциям с помощью теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани . То есть, если $g:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ — измеримая функция, то существует единственная мера такая, что

$g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).$

Спектральная

Смотрите также: Самосопряженный оператор § Спектральная теорема

Позволять $H$ — сепарабельное комплексное гильбертово пространство , $A:H\to H$ — ограниченный самосопряженный оператор и $\sigma (A)$ спектр ​ ​ $A$. Тогда спектральная теорема утверждает, что существует единственная проекционнозначная мера $\pi ^{A}$, определенный на борелевском подмножестве $E\subset \sigma (A)$, такой, что

$A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),$

где интеграл продолжается до неограниченной функции $\lambda$ когда спектр $A$ является неограниченным.

Прямые интегралы

Сначала мы предоставим общий пример проекционнозначной меры, основанной на прямых интегралах . Предположим, ( X , M , µ) — пространство с мерой, и пусть { H _x } _{x ∈ X} — µ-измеримое семейство сепарабельных гильбертовых пространств. Для каждого E ∈ M пусть π ( E ) — оператор умножения на 1 _E в гильбертовом пространстве.

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).$

Тогда π — проекционнозначная мера на ( X , M ).

Предположим, , ρ — проекционнозначные меры на ( X , M ) со значениями в проекциях H , K. π π , ρ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

$\pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad$

для E ∈ M. любого

Теорема . Если ( X , M ) — стандартное борелевское пространство , то для каждой проекционнозначной меры π на ( X , M ), принимающей значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, существует борелевская мера µ и µ-измеримое семейство Гильбертовые пространства { H _x } _{x ∈ X} , такие, что π унитарно эквивалентно умножению на 1 _E в гильбертовом пространстве

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).$

Класс меры µ и класс эквивалентности меры функции кратности x → dim H _x полностью характеризуют проекционнозначную меру с точностью до унитарной эквивалентности.

Проекционнозначная мера π является однородной кратности n тогда и только тогда, когда функция кратности имеет постоянное значение n . Четко,

Теорема . Любая проекционнозначная мера π, принимающая значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, является ортогональной прямой суммой однородных проекционнозначных мер:

$\pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})$

где

$H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)$

и

$X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.$

Применение в квантовой механике

Смотрите также: Значение ожидания (квантовая механика)

В квантовой механике при наличии проекционной меры измеримого пространства $X$ к пространству непрерывных эндоморфизмов на гильбертовом пространстве $H$,

• проективное пространство $\mathbf {P} (H)$ гильбертова пространства $H$ интерпретируется как множество возможных ( нормализуемых ) состояний $\varphi$ квантовой системы,
• измеримое пространство $X$ - пространство значений некоторого квантового свойства системы («наблюдаемой»),
• проекционная мера $\pi$ выражает вероятность того, что наблюдаемая принимает различные значения.

Распространенный выбор для $X$ это настоящая линия, но она также может быть

• $\mathbb {R} ^{3}$ (для положения или импульса в трех измерениях),
• дискретный набор (по угловому моменту, энергии связанного состояния и т.п.),
• набор из двух пунктов «истина» и «ложь» для истинностного значения произвольного утверждения о $\varphi$.

Позволять $E$ быть измеримым подмножеством $X$ и $\varphi$ нормализованное векторное квантовое состояние в $H$, так что его гильбертова норма унитарна, $\|\varphi \|=1$. Вероятность того, что наблюдаемая примет свое значение в $E$, учитывая систему в состоянии $\varphi$, является

$P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .$

Мы можем проанализировать это двумя способами. Во-первых, для каждого фиксированного $E$, проекция $\pi (E)$ является самосопряженным оператором $H$ чьим 1-собственным пространством являются состояния $\varphi$ для которого значение наблюдаемой всегда лежит в $E$, и чьим 0-собственным пространством являются состояния $\varphi$ для которого значение наблюдаемого никогда не лежит в $E$.

Во-вторых, для каждого фиксированного состояния нормализованного вектора $\varphi$, Ассоциация

$P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle$

является вероятностной мерой $X$ превращение значений наблюдаемой в случайную величину.

Измерение, которое может быть выполнено с помощью проекционной меры. $\pi$ называется проективным измерением .

Если $X$ существует линия действительного числа, связанная с $\pi$, самосопряженный оператор $A$ определено на $H$ к

$A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),$

что сводится к

$A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )$

если поддержка $\pi$ представляет собой дискретное подмножество $X$.

Вышеупомянутый оператор $A$ называется наблюдаемой, ассоциированной со спектральной мерой.

Обобщения

Идея проекционнозначной меры обобщается положительной операторнозначной мерой (POVM), где необходимость ортогональности, подразумеваемая проекционными операторами, заменяется идеей набора операторов, которые представляют собой неортогональное разбиение единицы. . Это обобщение мотивировано приложениями к квантовой теории информации .

См. также

• Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Шиллинг, Трой А. (1999). «Геометрическая формулировка квантовой механики». На пути Эйнштейна . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. arXiv : gr-qc/9706069 . дои : 10.1007/978-1-4612-1422-9_3 . ISBN  978-1-4612-7137-6 . * Конвей, Джон Б. (2000). Курс теории операторов . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2065-0 .
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4614-7116-5 .
• Макки, Г.В., Теория представлений унитарных групп , The University of Chicago Press, 1976.
• Моретти, В. (2017), Спектральная теория и квантовая механика, Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки , том. 110, Спрингер, Bibcode : 2017stqm.book.....M , ISBN  978-3-319-70705-1
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рид, М .; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN  978-0-07-054236-5 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шрёдингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , Американское математическое общество, 2009.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Варадараджан В.С., Геометрия квантовой теории , часть 2, Springer Verlag, 1970.