Рисс-проектор

В математике или, более конкретно, в спектральной теории , проектор Рисса — это проектор на собственное пространство, соответствующее определенному собственному значению оператора (или, в более общем смысле, проектор на инвариантное подпространство, соответствующее изолированной части спектра). Он был введен Фригесом Риссом в 1912 году. ^[1]^[2]

Определение

Позволять $A$ — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве ${\mathfrak {B}}$ . Позволять $\Gamma$ быть простым или составным спрямляемым контуром, охватывающим некоторую область $G_{\Gamma }$ и полностью лежит в резольвентном множестве $\rho (A)$ ( $\Gamma \subset \rho (A)$ ) оператора $A$ . Предполагая, что контур $\Gamma$ имеет положительную ориентацию по отношению к региону $G_{\Gamma }$ , проектор Рисса, соответствующий $\Gamma$ определяется

P_{\Gamma }=-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1}\,\mathrm {d} z;

здесь $I_{\mathfrak {B}}$ является оператором идентификации в ${\mathfrak {B}}$ .

Если $\lambda \in \sigma (A)$ единственная точка спектра $A$ в $G_{\Gamma }$ , затем $P_{\Gamma }$ обозначается $P_{\lambda }$ .

Характеристики

Оператор $P_{\Gamma }$ это проектор, который коммутирует с $A$ , и, следовательно, при разложении

{\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\Gamma }\oplus {\mathfrak {N}}_{\Gamma }\qquad {\mathfrak {L}}_{\Gamma }=P_{\Gamma }{\mathfrak {B}},\quad {\mathfrak {N}}_{\Gamma }=(I_{\mathfrak {B}}-P_{\Gamma }){\mathfrak {B}},

оба термина ${\mathfrak {L}}_{\Gamma }$ и ${\mathfrak {N}}_{\Gamma }$ являются инвариантными подпространствами оператора $A$ .Более того,

Спектр ограничения $A$ в подпространство ${\mathfrak {L}}_{\Gamma }$ содержится в регионе $G_{\Gamma }$ ;
Спектр ограничения $A$ в подпространство ${\mathfrak {N}}_{\Gamma }$ лежит за пределами замыкания $G_{\Gamma }$ .

Если $\Gamma _{1}$ и $\Gamma _{2}$ — это два разных контура, обладающие указанными выше свойствами, а области $G_{\Gamma _{1}}$ и $G_{\Gamma _{2}}$ не имеют общих точек, то соответствующие им проекторы взаимно ортогональны:

P_{\Gamma _{1}}P_{\Gamma _{2}}=P_{\Gamma _{2}}P_{\Gamma _{1}}=0.

См. также

Ссылки

^ Рисс, Ф.; Сз.-Надь, Б. (1956). Функциональный анализ . Блэки и Сын Лимитед.
^ Гохберг, IC; Крейн, М.Г. (1969). Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов . Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд

[1] Рисс, Ф.; Сз.-Надь, Б. (1956). Функциональный анализ . Блэки и Сын Лимитед.

[2] Гохберг, IC; Крейн, М.Г. (1969). Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов . Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд

[1]

[2]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem