Числовой диапазон

В математической области линейной алгебры и выпуклого анализа числовой диапазон или значений комплекса поле $n\times n$ матрица A представляет собой набор

W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \not =0\right\}

где $\mathbf {x} ^{*}$ обозначает транспонирование вектора сопряженное $\mathbf {x}$ . Числовой диапазон включает, в частности, диагональные элементы матрицы (полученные выбором x равным единичным векторам вдоль координатных осей) и собственные значения матрицы (полученные выбором x равным собственным векторам).

В технике числовые диапазоны используются в качестве грубой оценки значений A . собственных В последнее время обобщения числового диапазона используются для изучения квантовых вычислений .

Связанное с этим понятие — числовой радиус , который представляет собой наибольшее абсолютное значение чисел в числовом диапазоне, т.е.

r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |.

Характеристики

Числовой диапазон — это диапазон коэффициента Рэлея .
( Теорема Хаусдорфа – Теплица ) Числовой диапазон выпуклый и компактный.
$W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}$ для всех квадратных матриц $A$ и комплексные числа $\alpha$ и $\beta$ . Здесь $I$ является единичной матрицей .
$W(A)$ является подмножеством замкнутой правой полуплоскости тогда и только тогда, когда $A+A^{*}$ является положительно полуопределенным.
Числовой диапазон $W(\cdot )$ — единственная функция на множестве квадратных матриц, удовлетворяющая (2), (3) и (4).
(Субдобавка) $W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)$ , где сумма в правой части обозначает сумму .
$W(A)$ содержит все собственные значения $A$ .
Числовой диапазон $2\times 2$ матрица представляет собой заполненный эллипс .
$W(A)$ это реальный отрезок $[\alpha ,\beta ]$ тогда и только тогда, когда $A$ представляет собой эрмитову матрицу, наименьшее и наибольшее собственные значения которой равны $\alpha$ и $\beta$ .
Если $A$ это нормальная матрица, тогда $W(A)$ является выпуклой оболочкой его собственных значений.
Если $\alpha$ является острой точкой на границе $W(A)$ , затем $\alpha$ является нормальным собственным значением $A$ .
$r(\cdot )$ является нормой в пространстве $n\times n$ матрицы.
$r(A)\leq \|A\|\leq 2r(A)$ , где $\|\cdot \|$ обозначает норму оператора . ^[1]^[2]^[3]^[4]
$r(A^{n})\leq r(A)^{n}$

Обобщения

См. также

Библиография

Чой, доктор медицины; Крибс, Д.В.; Жычковский (2006), «Коды с квантовым исправлением ошибок из формализма сжатия», Rep. Math. Физ. , 58 (1): 77–91, arXiv : quant-ph/0511101 , Bibcode : 2006RpMP...58...77C , doi : 10.1016/S0034-4877(06)80041-8 , S2CID 119427312 .
Дирр, Г.; Хельмкель, У.; Кляйнштойбер, М.; Шульте-Хербрюгген, Т. (2006), «Новый тип C-числового диапазона, возникающий в квантовых вычислениях», Proc. Прил. Математика. Мех. , 6 : 711–712, doi : 10.1002/pamm.200610336 .
Бонсолл, ФФ; Дункан, Дж. (1971), Числовые диапазоны операторов в нормированных пространствах и элементов нормированных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-07988-4 .
Бонсолл, ФФ; Дункан, Дж. (1971), Числовые диапазоны II , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-20227-5 .
Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1991), Темы матричного анализа , издательство Кембриджского университета , глава 1, ISBN 978-0-521-46713-1 .
Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990), Матричный анализ , издательство Кембриджского университета , гл. 5.7, упр. 21, ISBN 0-521-30586-1
Ли, К.К. (1996), «Простое доказательство теоремы об эллиптическом диапазоне», Proc. Являюсь. Математика. Соц. , 124 (7): 1985, номер документа : 10.1090/S0002-9939-96-03307-2 .
Килер, Деннис С.; Родман, Лейба; Спитковский, Илья М. (1997), «Числовой диапазон матриц 3 × 3», Линейная алгебра и ее приложения , 252 (1–3): 115, doi : 10.1016/0024-3795(95)00674-5 .
«Функциональные характеристики поля значений и выпуклой оболочки спектра», Чарльз Р. Джонсон, Труды Американского математического общества , 61 (2): 201-204, декабрь 1976 г.

Ссылки

^ " "известное" неравенство для числового радиуса оператора" . СтекExchange .
^ «Верхняя оценка нормы оператора гильбертова пространства» . СтекExchange .
^ «Неравенства для числового радиуса оператора комплексного гильбертова пространства» . СтекExchange .
^ Хилари Пристли . «Гильбертовые пространства B4b: расширенный обзор 9. Спектральная теория» (PDF) . Фактически, ‖T‖ = max(−m _T , MT ₎ = w _T . Для несамосопряженных операторов это неверно, но _{w T} ≤ ‖T‖ ≤ 2w _T. в комплексном случае

[1] " "известное" неравенство для числового радиуса оператора" . СтекExchange .

[2] «Верхняя оценка нормы оператора гильбертова пространства» . СтекExchange .

[3] «Неравенства для числового радиуса оператора комплексного гильбертова пространства» . СтекExchange .

[4] Хилари Пристли . «Гильбертовые пространства B4b: расширенный обзор 9. Спектральная теория» (PDF) . Фактически, ‖T‖ = max(−m _T , MT ₎ = w _T . Для несамосопряженных операторов это неверно, но _{w T} ≤ ‖T‖ ≤ 2w _T. в комплексном случае

[1]

[2]

[3]

[4]