Резольвентный набор

В линейной алгебре и теории операторов резольвентное множество линейного оператора — это набор комплексных чисел , для которых оператор в некотором смысле « хорошо себя ведет ». Резольвентное множество играет важную роль в резольвентном формализме .

Определения

Пусть X — банахово пространство и пусть $L\colon D(L)\rightarrow X$ быть линейным оператором с областью определения $D(L)\subseteq X$. Пусть id обозначает тождественный оператор на X . Для любого $\lambda \in \mathbb {C}$, позволять

$L_{\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .$

Комплексное число $\lambda$ называется регулярным значением, если верны следующие три утверждения:

1. $L_{\lambda }$ инъективен , то есть коограничение $L_{\lambda }$ к его изображению есть обратный $R(\lambda ,L)=(L-\lambda \,\mathrm {id} )^{-1}$ называется резольвентой ;
2. $R(\lambda ,L)$ — ограниченный линейный оператор ;
3. $R(\lambda ,L)$ определен на плотном подпространстве X . , т. е $L_{\lambda }$ имеет плотный диапазон.

Резольвентное множество L — это множество всех регулярных значений L :

$\rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ is a regular value of }}L\}.$

Спектр является дополнением множества резольвентного

$\sigma (L)=\mathbb {C} \setminus \rho (L),$

и подвергается взаимно сингулярному спектральному разложению на точечный спектр (при невыполнении условия 1), непрерывный спектр (при невыполнении условия 2) и остаточный спектр (при невыполнении условия 3).

Если $L$ является закрытым оператором , то и каждый $L_{\lambda }$, а условие 3 можно заменить требованием, чтобы $L_{\lambda }$ быть сюръективным .

Характеристики

• Резольвентное множество $\rho (L)\subseteq \mathbb {C}$ ограниченного линейного оператора L является открытым множеством .
• В более общем смысле резольвентное множество плотно определенного замкнутого неограниченного оператора является открытым множеством.

Ссылки

• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN  0-387-00444-0 . МИСТЕР 2028503 (см. раздел 8.3)

Внешние ссылки

• Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Резолвентное множество» , Энциклопедия Математики , EMS Press

См. также

• Резольвентный формализм
• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)