Индексная группа

В теории операторов , разделе математики, каждая банахова алгебра может быть связана с группой, называемой ее абстрактной индексной группой .

Определение

Пусть A — банахова алгебра, а G — обратимых элементов из A. группа Множество G открыто и является топологической группой . Рассмотрим компонент идентичности

Г ₀ ,

или, другими словами, связный компонент, содержащий идентификатор 1 A ; G0 — нормальная группы G. подгруппа Факторгруппа

Λ _А = Г / Г ₀

является индексной группой A . абстрактной Поскольку G0 _G , будучи компонентом открытого множества, одновременно открыта и замкнута в , индексная группа является дискретной группой .

Примеры

Пусть L ( H ) — банахова алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Множество обратимых элементов в L ( H ) линейно связно. Следовательно, Λ _{L ( H )} — тривиальная группа.

Пусть T обозначает единичную окружность на комплексной плоскости. Алгебра C ( T ) непрерывных функций от T до комплексных чисел является банаховой алгеброй с топологией равномерной сходимости. Функция из C ( T ) обратима (это означает, что она имеет поточечную мультипликативную обратную функцию , а не то, что она является обратимой функцией ), если она не отображает ни один элемент T в ноль. Группа G0 _G состоит из элементов гомотопных в G единице в , , постоянной функции 1 . Можно выбрать функции f _n ( z ) = z ^н как представители в G различных гомотопических классов отображений T → T . Таким образом, индексная группа Λ _{C ( T )} представляет собой множество гомотопических классов, индексированных числом витков его членов. Λ _{C ( T )} изоморфна фундаментальной группе T. образом , Таким Это счетная дискретная группа.

Алгебра Калкина K является фактор- алгеброй C* группы L ( H ) по компактным операторам . Предположим, что π — фактор-отображение. По теореме Аткинсона обратимый элемент в K имеет вид π( T ), где T — оператор Фредгольма . Индексная группа Λ _K снова является счетной дискретной группой. Фактически, Λ _K изоморфна аддитивной группе целых чисел Z через индекс Фредгольма . Другими словами, для операторов Фредгольма два понятия индекса совпадают.

Ссылки

Чжу, Кехе (1993). Введение в операторные алгебры , CRC Press, Бока-Ратон, Луизиана, ОСЛК 27680761