Фредгольмский оператор

Основная статья: теория Фредгольма

В математике операторы Фредгольма — это некоторые операторы , возникающие в теории Фредгольма интегральных уравнений . Они названы в честь Эрика Ивара Фредхольма . По определению, оператор Фредгольма — это ограниченный линейный оператор T : X → Y между двумя банаховыми пространствами с конечномерным ядром. $\ker T$ и конечномерное (алгебраическое) коядро $\operatorname {coker} T=Y/\operatorname {ran} T$, и с закрытым диапазоном $\operatorname {ran} T$. Последнее условие на самом деле избыточно.

Индексом число оператора Фредгольма является целое

$\operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} \operatorname {ran} T$

или другими словами,

$\operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {dim} \operatorname {coker} T.$

Характеристики

Интуитивно понятно, что операторы Фредгольма — это операторы, которые обратимы, «если игнорировать конечномерные эффекты». Далее следует формально правильное утверждение. Ограниченный оператор T : X → Y между банаховыми пространствами X и Y является фредгольмовым тогда и только тогда, когда он является обратимым по модулю компактных операторов , т. е. если существует ограниченный линейный оператор

$S:Y\to X$

такой, что

$\mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS$

являются компактными операторами на X и Y соответственно.

Если оператор Фредгольма слегка изменить, он останется Фредгольмовым, и его индекс останется прежним. Формально: множество операторов Фредгольма из X в Y открыто в банаховом пространстве L( X , Y ) ограниченных линейных операторов, снабженном операторной нормой , а индекс локально постоянен. Точнее, если T ₀ является фредгольмовым от X до Y , существует ε > 0 такое, что каждый T в L( X , Y ) с || Т - Т ₀ || < ε является фредгольмовым с тем же индексом, что и T ₀ .

Когда T — это Фредгольм от X до Y и U Фредгольм от Y до Z , то композиция $U\circ T$ является Фредгольмом от X до Z и

$\operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T).$

Когда T является фредгольмовым, транспонирующий (или присоединенный) оператор T ′ является фредгольмовым из Y ′ в X ′ и ind( T ′) = −ind( T ) . Когда X и Y являются гильбертовыми пространствами , тот же вывод справедлив и для эрмитова сопряженного   T ^∗ .

Если T фредгольмов и K компактный оператор, то T + K фредгольмов. Индекс T остается неизменным при таком компактном возмущении T . Это следует из того факта, что индекс i ( s ) T + s   K является целым числом, определенным для каждого s в [0, 1], а i ( s ) является локально постоянным, следовательно, i (1) = i (0) .

Инвариантность по возмущению справедлива для более крупных классов, чем класс компактных операторов. Например, когда U — фредгольмовский, а T — строго сингулярный оператор , то T + U — фредгольмовский с тем же индексом. Класс несущественных операторов , который собственно содержит класс строго сингулярных операторов, является «классом возмущений» для операторов Фредгольма. Это означает, что оператор $T\in B(X,Y)$ несущественно тогда и только тогда, когда T+U фредгольмов для любого фредгольмова оператора $U\in B(X,Y)$.

Примеры

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством с ортонормированным базисом $\{e_{n}\}$ индексируется неотрицательными целыми числами. Оператор (правого) сдвига S на H определяется формулой

$S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,$

Этот оператор S инъективен (фактически изометричен) и имеет замкнутый образ коразмерности 1, следовательно, S является фредгольмовым с $\operatorname {ind} (S)=-1$. Полномочия $S^{k}$, $k\geq 0$, являются Фредгольмом с индексом $-k$. Сопряженный S* — сдвиг влево,

$S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,$

Левый сдвиг S* — фредгольмовский с индексом 1.

Если H — классическое пространство Харди $H^{2}(\mathbf {T} )$ на единичной окружности T в комплексной плоскости, то оператор сдвига относительно ортонормированного базиса комплексных экспонент

$e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,$

– оператор умножения M _φ на функцию $\varphi =e_{1}$. В более общем смысле, пусть φ — комплексная непрерывная функция на T , которая не обращается в нуль на $\mathbf {T}$и пусть T _φ обозначает оператор Теплица с символом φ , равный умножению на φ, за которым следует ортогональная проекция $P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )$:

$T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,$

Тогда T _φ является фредгольмовым оператором на $H^{2}(\mathbf {T} )$, с индексом, соответствующим номеру витка вокруг 0 ​​замкнутого пути $t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})$: индекс T _φ , определенный в этой статье, является противоположностью этого числа витков.

Приложения

Любой эллиптический оператор можно расширить до оператора Фредгольма. Использование операторов Фредгольма в уравнениях в частных производных представляет собой абстрактную форму метода параметрикса .

Теорема Атьи -Зингера об индексе дает топологическую характеристику индекса некоторых операторов на многообразиях.

Теорема Атьи-Йаниха отождествляет K-теорию K ( X ) компактного топологического пространства X с множеством гомотопических классов непрерывных отображений из X в пространство фредгольмовых операторов H → H , где H — сепарабельное гильбертово пространство, а множество этих операторов несет в себе операторную норму.

Обобщения

Полуфредгольмовы операторы

Ограниченный линейный оператор Т называется полуфредгольмовым, если его образ замкнут и хотя бы один из $\ker T$, $\operatorname {coker} T$ является конечномерным. Для полуфредгольмова оператора индекс определяется выражением

$\operatorname {ind} T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T,&\dim \ker T+\dim \operatorname {coker} T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \operatorname {coker} T=\infty .\end{cases}}$

Неограниченные операторы

Можно также определить неограниченные операторы Фредгольма. Пусть X и Y — два банаховых пространства.

1. Замкнутый линейный оператор $T:\,X\to Y$ называется Фредгольмовым, если его область определения ${\mathfrak {D}}(T)$ плотный в $X$, его область значений замкнута, а ядро ​​и коядро T конечномерны.
2. $T:\,X\to Y$ называется полуфредгольмовым, если его область определения ${\mathfrak {D}}(T)$ плотный в $X$, его диапазон замкнут, и либо ядро, либо коядро T (или оба) конечномерны.

Как отмечалось выше, образ замкнутого оператора замкнут, пока коядро конечномерно (Эдмундс и Эванс, теорема I.3.2).

Ссылки

• Д. Е. Эдмундс и В. Д. Эванс (1987), Спектральная теория и дифференциальные операторы, Oxford University Press. ISBN   0-19-853542-2 .
• А. Г. Рамм, « Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеристика операторов Фредгольма », American Mathematical Monthly , 108 (2001) стр. 855 (Примечание: в этой статье слово «оператор Фредгольма» относится к «оператору Фредгольма индекса 0»).
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма» . Математический мир .
• Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], «Теоремы Фредгольма» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Брюс К. Драйвер, « Компактные и фредгольмовы операторы и спектральная теорема », Инструменты анализа с приложениями , глава 35, стр. 579–600.
• Роберт К. МакОуэн, « Теория Фредгольма уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях », Pacific J. Math. 87 , нет. 1 (1980), 169–185.
• Томаш Мровка, Краткое введение в линейный анализ: операторы Фредгольма , геометрия многообразий, осень 2004 г. (Массачусетский технологический институт: MIT OpenCouseWare)