Параметрикс

В математике , и особенно в области уравнений в частных производных (УЧП), параметрикс является приближением фундаментального решения УЧП и, по сути, является приближенным обратным дифференциальному оператору.

Параметрикс для дифференциального оператора часто легче построить, чем фундаментальное решение, и для многих целей он почти так же хорош. Иногда возможно построить фундаментальное решение из параметрикса путем итеративного улучшения.

Обзор и неформальное определение

Полезно рассмотреть, что является фундаментальным решением для дифференциального оператора $P (D)$ с постоянными коэффициентами: это распределение $u$ на $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что

P(D){u(x)}=\delta (x)~,

в слабом смысле , где $δ$ — дельта-распределение Дирака .

Аналогично, параметрикс для дифференциального оператора с переменными коэффициентами $P (x,D)$ — это распределение $u$ такое, что

P(x,D){u(x)}=\delta (x)+\omega (x)~,

где $ω$ — некоторый $C \infty$ функция с компактной поддержкой.

Параметрикс - полезная концепция при изучении эллиптических дифференциальных операторов и, в более общем смысле, гипоэллиптических псевдодифференциальных операторов с переменным коэффициентом, поскольку для таких операторов в соответствующих областях можно показать, что параметрикс существует, и его можно довольно легко построить. ^[1] и быть гладкой функцией вдали от начала координат. ^[2]

Найдя аналитическое выражение параметрикса, можно вычислить решение связанного с ним достаточно общего эллиптического уравнения в частных производных путем решения связанного с ним интегрального уравнения Фредгольма : кроме того, сама структура параметрикса раскрывает свойства решения задачи без даже рассчитав это, как и его гладкость ^[3] и другие качественные свойства.

Параметрики псевдодифференциальных операторов

В более общем смысле, если $L$ — любой псевдодифференциальный оператор порядка $p$ , то другой псевдодифференциальный оператор $L +$ порядка $-p$ называется параметриксом для $L,$ если операторы

L\circ L^{+}-I,\quad L^{+}\circ L-I

оба являются псевдодифференциальными операторами отрицательного порядка. Операторы $L$ и $L +$ будет допускать непрерывные расширения до отображений между пространствами Соболева $H с$ и $Х с + к$ .

На компактном многообразии указанные выше различия представляют собой компактные операторы . В этом случае исходный оператор $L$ определяет оператор Фредгольма между пространствами Соболева. ^[4]

Параметриксная конструкция Адамара

Явное построение параметрикса для операторов в частных производных второго порядка, основанное на развитии степенных рядов, было обнаружено Жаком Адамаром . Его можно применить к оператору Лапласа , волновому уравнению и уравнению теплопроводности .

В случае уравнения теплопроводности или волнового уравнения, где имеется выделенный параметр времени $t$ , Метод Адамара состоит в том, чтобы взять фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, полученное замораживанием коэффициентов в фиксированной точке, и найти общее решение как произведение этого решения при изменении точки на формальный степенной ряд по $t$ . Постоянный член равен 1, а старшие коэффициенты представляют собой функции, определяемые рекурсивно как интегралы от одной переменной.

В общем случае степенной ряд не сходится, а дает лишь асимптотическое разложение точного решения. Подходящее усечение степенного ряда тогда дает параметрикс. ^[5]^[6]

Построение фундаментального решения по параметриксу

Достаточно хороший параметрикс часто можно использовать для построения точного фундаментального решения с помощью сходящейся итерационной процедуры следующим образом ( Бергер, Годюшон и Мазе, 1971 ).

Если $L$ — элемент кольца с умножением * такой, что

L*P=1+R

для некоторого приближенного правого обратного $P$ и «достаточно малого» остаточного члена $R$ тогда, по крайней мере формально,

L*P*(1-R+R*R-R*R*R+\cdots )=1

поэтому, если бесконечный ряд имеет смысл, то $L$ имеет правый обратный

P-P*R+P*R*R-P*R*R*R+\cdots

.

Если $L$ — псевдодифференциальный оператор, а $P$ — параметрикс, это дает правый обратный $L$ , другими словами, фундаментальное решение, при условии, что $R$ «достаточно мал», что на практике означает, что он должен быть достаточно хорошим сглаживающим оператором. .

Если $P$ и $R$ представлены функциями, то умножение * псевдодифференциальных операторов соответствует свертке функций, поэтому члены бесконечной суммы дают фундаментальное решение $L$ свертку $P$ с копиями $R.$ включает

Примечания

^ Используя известные факты о фундаментальном решении с постоянными коэффициентами дифференциальных операторов .
^ Хёрмандер 1983 , с. 170
^ См. статью о проблеме регулярности операторов в частных производных .
^ Хёрмандер 1985
^ Хёрмандер 1985 , стр. 30–41.
^ Адамар 1932 г.

Ссылки

Бежанку, А. (2001) [1994], «Метод Параметрикс» , Энциклопедия математики , EMS Press
Бергер, Марсель ; Годюшон, Поль; Мазе, Эдмонд (1971), Спектр риманова многообразия , Конспект лекций по математике (на французском языке), том. 194, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. VII, 251, номер домена : 10.1007/BFb0064643 , ISBN. 978-3-540-05437-5 , МР 0282313 , Збл 0223.53034
Адамар, Жак (2003) [1923], Лекции по проблеме Коши в линейных уравнениях в частных производных , издания Dover Phoenix, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49549-1 , JFM 49.0725.04 , МР 0051411 , Збл 0049.34805
Адамар, Ж. (1932), Задача Коши и гиперболические линейные уравнения в частных производных (на французском языке), Париж: Herman, JFM 58.0519.16 , Zbl 0006.20501 .
Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Основы математической науки, том. 256, Гейдельберг – Берлин – Нью-Йорк: Springer Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN. 3-540-12104-8 , МР 0717035 , Збл 0521.35001 .
Хёрмандер, Л. (1985), Анализ линейных операторов в частных производных III , Basic Teachings of Mathematical Science, vol. 274, Гейдельберг – Берлин – Нью-Йорк: Springer Verlag , ISBN 3-540-13828-5 , МР 0781536 , Збл 0601.35001 .
Леви, Эудженио Элиа (1907), «О линейных уравнениях полностью эллиптических частных дифференциалов», Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche, Naturali , Serie V, 16 (12): 932–938, JFM 38.0403. 01 (на итальянском языке ).
Леви, Эухенио Элиа (1907), «О полностью эллиптических линейных уравнениях с частными дифференциалами» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 24 (1): 275–317, doi : 10.1007/BF03015067 , JFM 38.0402.01 , S2CID 121688042 (в итальянский ).
Уэллс-младший, Р.О. (1986), Дифференциальный анализ комплексных многообразий , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90419-1

[1] Используя известные факты о фундаментальном решении с постоянными коэффициентами дифференциальных операторов .

[2] Хёрмандер 1983 , с. 170

[3] См. статью о проблеме регулярности операторов в частных производных .

[4] Хёрмандер 1985

[5] Хёрмандер 1985 , стр. 30–41.

[6] Адамар 1932 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]