Фундаментальное решение

В математике фундаментальное решение для линейного оператора в частных производных L представляет собой формулировку на языке теории распределения старой идеи функции Грина (хотя, в отличие от функций Грина, фундаментальные решения не учитывают граничные условия).

В терминах дельта-функции Дирака δ ( x ) фундаментальное решение F является решением неоднородного уравнения

LF знак равно δ ( Икс ) .

Здесь F априори только предполагается распределением .

Эта концепция уже давно используется для лапласиана в двух и трех измерениях. Он был исследован для всех измерений лапласиана Марселем Риссом .

Существование фундаментального решения для любого оператора с постоянными коэффициентами — важнейший случай, напрямую связанный с возможностью использования свертки для решения произвольной правой части — было показано Бернаром Мальгранжем и Леоном Эренпрейсом . В контексте функционального анализа фундаментальные решения обычно разрабатываются с помощью альтернативы Фредгольма и исследуются в теории Фредгольма .

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение Lf = sin( x ) с

$$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.$$

Фундаментальные решения могут быть получены путем решения LF = δ ( x ) в явном виде:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)\,.$$

Поскольку для функции единичного шага (также известной как функция Хевисайда ) H имеем

$${\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)\,,$$

есть решение

$${\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C\,.$$

Здесь C — произвольная константа, введенная при интегрировании. Для удобства положим C = −1/2 .

После интеграции ${\frac {dF}{dx}}$ и выбрав новую константу интегрирования равной нулю, получим

$$F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.$$

Мотивация

Как только фундаментальное решение найдено, найти решение исходного уравнения несложно путем свертки фундаментального решения и желаемой правой части.

Фундаментальные решения играют важную роль также при численном решении уравнений в частных производных методом граничных элементов .

Приложение к примеру

Рассмотрим оператор L и дифференциальное уравнение, упомянутое в примере:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)\,.$$

Мы можем найти решение $f(x)$ исходного уравнения путем свертки (отмечена звездочкой) правой части $\sin(x)$ с фундаментальным решением ${\textstyle F(x)={\frac {1}{2}}|x|}$:

$$f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)\,dy\,.$$

Это показывает, что необходимо соблюдать некоторую осторожность при работе с функциями, которые не обладают достаточной регулярностью (например, компактная поддержка, L ¹ интегрируемость), поскольку мы знаем, что искомое решение — это f ( x ) = −sin( x ) , а приведенный выше интеграл расходится для всех x . Однако оба выражения для f равны как распределения.

Пример, который более наглядно работает

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)\,,$$

где I — характеристическая (показательная) функция единичного интервала [0,1] . В этом случае можно проверить, что свертка I с F ( x ) = | х |/2 есть

$$(I*F)(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}},&0\leq x\leq 1\\|{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}|,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

которое является решением, т. е. имеет вторую производную, равную I .

Доказательство того, что свертка является решением

Обозначим свертку функций F и g как F ∗ g . Скажем, мы пытаемся найти решение Lf = g ( x ) . Мы хотим доказать, что F ∗ g является решением предыдущего уравнения, т. е. мы хотим доказать, что L ( F ∗ g ) = g . При применении дифференциального оператора L к свертке известно, что

$$L(F*g)=(LF)*g\,,$$

при условии, что L имеет постоянные коэффициенты.

Если F является фундаментальным решением, правая часть уравнения сводится к

$$\delta *g~.$$

Но поскольку дельта-функция является единичным элементом для свертки, это просто g ( x ) . Подводя итоги,

$$L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)\,dy=g(x)\,.$$

Следовательно, если F является фундаментальным решением, свертка F ∗ g является одним решением Lf = g ( x ) . Это не значит, что это единственное решение. Можно найти несколько решений для разных начальных условий.

Фундаментальные решения некоторых уравнений в частных производных

С помощью преобразования Фурье можно получить следующее:

Уравнение Лапласа

Для Лапласа уравнения

$$[-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$$

фундаментальные решения в двух и трех измерениях соответственно:

$$\Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}~.$$

Пуассона

Для Пуассона экранированного уравнения

$$[-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,$$

фундаментальные решения

$$\Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|),\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}},$$

где $K_{0}$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода.

В более высоких измерениях фундаментальное решение экранированного уравнения Пуассона дается потенциалом Бесселя .

Бигармоническое уравнение

Для уравнения бигармонического

$$[-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$$

бигармоническое уравнение имеет фундаментальные решения

$$\Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}~.$$

Обработка сигналов

Основная статья: Импульсная реакция

В обработке сигналов аналог фундаментального решения дифференциального уравнения называется импульсной характеристикой фильтра.

См. также

• функция Грина
• Импульсный отклик
• Параметрикс

Ссылки

• «Фундаментальное решение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Для корректировки функции Грина на границе см. примечания Шицзюэ Ву .