Бигармоническое уравнение

В математике бигармоническое уравнение четвертого порядка — это уравнение в частных производных , которое возникает в областях механики сплошных сред , включая линейную теорию упругости и решение потоков Стокса . В частности, он используется при моделировании тонких структур, упруго реагирующих на внешние силы.

Обозначения

Это написано как $\nabla ^{4}\varphi =0$ или $\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0$ или $\Delta ^{2}\varphi =0$ где $\nabla ^{4}$ , что является четвертой степенью оператора del и квадратом Лапласа оператора $\nabla ^{2}$ (или $\Delta$ ), известен как бигармонический оператор или оператор билапласа . В декартовых координатах это можно записать в виде $n$ размеры как: $\nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .$ Поскольку формула содержит сумму индексов, многие математики предпочитают обозначение $\Delta ^{2}$ над $\nabla ^{4}$ потому что первый ясно показывает, какие из индексов четырех операторов набла сжимаются.

Например, в трехмерных декартовых координатах бигармоническое уравнение имеет вид ${\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.$ Другой пример: в n -мерном реальном координатном пространстве без начала координат $\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)$ , $\nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}$ где $r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$ который показывает, только для n =3 и n =5, ${\frac {1}{r}}$ является решением бигармонического уравнения.

Решение бигармонического уравнения называется бигармонической функцией . Любая гармоническая функция бигармонична, но обратное не всегда верно.

В двумерных полярных координатах бигармоническое уравнение имеет вид ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0$ которую можно решить разделением переменных. Результатом является решение Мичелла .

2-мерное пространство

Общее решение двумерного случая: $xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)$ где $u(x,y)$ , $v(x,y)$ и $w(x,y)$ являются гармоническими функциями и $v(x,y)$ является сопряжением гармоническим $u(x,y)$ .

Как гармонические функции с двумя переменными тесно связаны с комплексными аналитическими функциями , так и бигармонические функции с двумя переменными. Общий вид бигармонической функции двух переменных также можно записать как $\operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))$ где $f(z)$ и $g(z)$ являются аналитическими функциями .

См. также

Гармоническая функция

Ссылки

Эрик Вайсштейн, Краткая математическая энциклопедия CRC , CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2 .
С. И. Хайек, Передовые математические методы в науке и технике , Марсель Деккер, 2000. ISBN 0-8247-0466-5 .
Дж. П. Ден Хартог (1 июля 1987 г.). Повышенная прочность материалов . Публикации Courier Dover. ISBN 0-486-65407-9 .

Внешние ссылки