Решение Мичелла

Решение Мичелла является общим решением уравнений упругости в полярных координатах ( $r,\theta$ ), разработанный Дж. Х. Мичеллом . Решение таково, что компоненты напряжений имеют вид ряда Фурье по $\theta$ .

Мичелл ^{[ 1 ]} показал, что общее решение можно выразить через функцию напряжения Эйри вида ${\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}r^{2}+B_{0}r^{2}\ln(r)+C_{0}\ln(r)\\&+\left(I_{0}r^{2}+I_{1}r^{2}\ln(r)+I_{2}\ln(r)+I_{3}\right)\theta \\&+\left(A_{1}r+B_{1}r^{-1}+B_{1}'r\theta +C_{1}r^{3}+D_{1}r\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}r+F_{1}r^{-1}+F_{1}'r\theta +G_{1}r^{3}+H_{1}r\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}+C_{n}r^{n+2}+D_{n}r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}r^{n}+F_{n}r^{-n}+G_{n}r^{n+2}+H_{n}r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}$ Условия $A_{1}r\cos \theta$ и $E_{1}r\sin \theta$ определяют тривиальное нулевое состояние напряжения и игнорируются.

Компоненты стресса

Компоненты напряжений можно получить, подставив решение Мичелла в уравнения для напряжений через функцию напряжения Эйри (в цилиндрических координатах ). Ниже представлена таблица компонентов напряжения. ^{[ 2 ]}

$\varphi$	$\sigma _{rr}\,$	$\sigma _{r\theta }\,$	$\sigma _{\theta \theta }\,$
$r^{2}\,$	$2$	$0$	$2$
$r^{2}~\ln r$	$2~\ln r+1$	$0$	$2~\ln r+3$
$\ln r\,$	$r^{-2}\,$	$0$	$-r^{-2}\,$
$\theta \,$	$0$	$r^{-2}\,$	$0$
$r^{3}~\cos \theta \,$	$2~r~\cos \theta \,$	$2~r~\sin \theta \,$	$6~r~\cos \theta \,$
$r\theta ~\cos \theta \,$	$-2~r^{-1}~\sin \theta \,$	$0$	$0$
$r~\ln r~\cos \theta \,$	$r^{-1}~\cos \theta \,$	$r^{-1}~\sin \theta \,$	$r^{-1}~\cos \theta \,$
$r^{-1}~\cos \theta \,$	$-2~r^{-3}~\cos \theta \,$	$-2~r^{-3}~\sin \theta \,$	$2~r^{-3}~\cos \theta \,$
$r^{3}~\sin \theta \,$	$2~r~\sin \theta \,$	$-2~r~\cos \theta \,$	$6~r~\sin \theta \,$
$r\theta ~\sin \theta \,$	$2~r^{-1}~\cos \theta \,$	$0$	$0$
$r~\ln r~\sin \theta \,$	$r^{-1}~\sin \theta \,$	$-r^{-1}~\cos \theta \,$	$r^{-1}~\sin \theta \,$
$r^{-1}~\sin \theta \,$	$-2~r^{-3}~\sin \theta \,$	$2~r^{-3}~\cos \theta \,$	$2~r^{-3}~\sin \theta \,$
$r^{n+2}~\cos(n\theta )\,$	$-(n+1)(n-2)~r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$(n+1)(n+2)~r^{n}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\cos(n\theta )\,$	$-(n+2)(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$(n-1)(n-2)~r^{-n}~\cos(n\theta )$
$r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,$
$r^{n+2}~\sin(n\theta )\,$	$-(n+1)(n-2)~r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$(n+1)(n+2)~r^{n}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\sin(n\theta )\,$	$-(n+2)(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$(n-1)(n-2)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,$
$r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,$

Компоненты смещения

Перемещения $(u_{r},u_{\theta })$ может быть получено из решения Мичелла с использованием соотношений напряжение-деформация и деформация-смещение . Ниже приведена таблица компонентов смещения, соответствующих членам функции напряжения Эйри для решения Мичелла. В этой таблице

\kappa ={\begin{cases}3-4~\nu &{\rm {for~plane~strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\rm {for~plane~stress}}\\\end{cases}}

где $\nu$ - коэффициент Пуассона , а $\mu$ – модуль сдвига .

$\varphi$	$2~\mu ~u_{r}\,$	$2~\mu ~u_{\theta }\,$
$r^{2}\,$	$(\kappa -1)~r$	$0$
$r^{2}~\ln r$	$(\kappa -1)~r~\ln r-r$	$(\kappa +1)~r~\theta$
$\ln r\,$	$-r^{-1}\,$	$0$
$\theta \,$	$0$	$-r^{-1}\,$
$r^{3}~\cos \theta \,$	$(\kappa -2)~r^{2}~\cos \theta \,$	$(\kappa +2)~r^{2}~\sin \theta \,$
$r\theta ~\cos \theta \,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\cos \theta +\{1-(\kappa +1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$	$-{\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\sin \theta +\{1+(\kappa +1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$
$r~\ln r~\cos \theta \,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\sin \theta -\{1-(\kappa -1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\cos \theta -\{1+(\kappa -1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$
$r^{-1}~\cos \theta \,$	$r^{-2}~\cos \theta \,$	$r^{-2}~\sin \theta \,$
$r^{3}~\sin \theta \,$	$(\kappa -2)~r^{2}~\sin \theta \,$	$-(\kappa +2)~r^{2}~\cos \theta \,$
$r\theta ~\sin \theta \,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\sin \theta -\{1-(\kappa +1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\cos \theta -\{1+(\kappa +1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$
$r~\ln r~\sin \theta \,$	$-{\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\cos \theta +\{1-(\kappa -1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\sin \theta +\{1+(\kappa -1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$
$r^{-1}~\sin \theta \,$	$r^{-2}~\sin \theta \,$	$-r^{-2}~\cos \theta \,$
$r^{n+2}~\cos(n\theta )\,$	$(\kappa -n-1)~r^{n+1}~\cos(n\theta )\,$	$(\kappa +n+1)~r^{n+1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\cos(n\theta )\,$	$(\kappa +n-1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta )\,$	$-(\kappa -n+1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$-n~r^{n-1}~\cos(n\theta )\,$	$n~r^{n-1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$n~r^{-n-1}~\cos(n\theta )\,$	$n(~r^{-n-1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{n+2}~\sin(n\theta )\,$	$(\kappa -n-1)~r^{n+1}~\sin(n\theta )\,$	$-(\kappa +n+1)~r^{n+1}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\sin(n\theta )\,$	$(\kappa +n-1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta )\,$	$(\kappa -n+1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta )\,$
$r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$-n~r^{n-1}~\sin(n\theta )\,$	$-n~r^{n-1}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$n~r^{-n-1}~\sin(n\theta )\,$	$-n~r^{-n-1}~\cos(n\theta )\,$