Гармоническое сопряжение

В математике функция вещественная $u(x,y)$ определено на связном открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ Говорят, что он имеет сопряженную (функцию) $v(x,y)$ тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции. $f(z)$ комплексной переменной $z:=x+iy\in \Omega .$ То есть, $v$ сопряжено с $u$ если $f(z):=u(x,y)+iv(x,y)$ голоморфен на $\Omega .$ Как первое следствие определения, они обе являются гармоническими вещественными функциями на $\Omega$ . Более того, сопряжение $u,$ если он существует, то уникален с точностью до аддитивной константы. Также, $u$ сопряжено с $v$ тогда и только тогда, когда $v$ сопряжено с $-u$ .

Описание

Эквивалентно, $v$ сопряжено с $u$ в $\Omega$ тогда и только тогда, когда $u$ и $v$ удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в $\Omega .$ Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если $u$ любая гармоническая функция на $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2},$ функция $-u_{y}$ сопряжено с $u_{x}$ ибо тогда уравнения Коши–Римана суть не что иное, как $\Delta u=0$ и симметрия смешанных производных второго порядка , $u_{xy}=u_{yx}.$ Следовательно, гармоническая функция $u$ допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция $g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)$ имеет примитивный $f(z)$ в $\Omega ,$ в этом случае сопряжение $u$ это, конечно, $\operatorname {Im} f(x+iy).$ Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию, если ее область определения , односвязна и в любом случае она допускает сопряженную функцию локально в любой точке своей области определения.

Существует оператор, принимающий гармоническую функцию u в односвязной области в $\mathbb {R} ^{2}$ к его гармоническому сопряженному v (полагая, например, v ( x ₀ ) = 0 для данного x ₀ , чтобы зафиксировать неопределенность сопряженного с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) преобразование Гильберта ; это также основной пример математического анализа в связи с сингулярными интегральными операторами . Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Беклунда (два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейного; более сложные преобразования представляют интерес для солитонов и интегрируемых систем .

Геометрически u и v связаны как имеющие ортогональные траектории , удаленные от нулей базовой голоморфной функции; контуры, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом . В этом отношении u + iv будет комплексным потенциалом , где u — потенциальная функция , а v — функция тока .

Примеры

Например, рассмотрим функцию $u(x,y)=e^{x}\sin y.$

С ${\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y$ и ${\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,$ это удовлетворяет $\Delta u=\nabla ^{2}u=0$ ( $\Delta$ является оператором Лапласа ) и, таким образом, является гармоническим. Теперь предположим, что у нас есть $v(x,y)$ такие, что выполняются уравнения Коши–Римана:

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y$ и ${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.$

Упрощая, ${\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y$ и ${\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y$ что при решении дает $v=-e^{x}\cos y+C.$

Заметим, что если бы функции, связанные с $u$ и $v,$ были заменены местами, функции не были бы гармонически сопряженными, поскольку знак минус в уравнениях Коши – Римана делает отношения асимметричными.

Свойство конформного отображения аналитических функций (в точках, где производная не равна нулю) порождает геометрическое свойство гармонических сопряжений. Очевидно, что гармоническое сопряжение x есть y , а линии констант x и константы y ортогональны. Конформность говорит, что контуры констант $u (x, y)$ и $v (x, y)$ также будут ортогональны там, где они пересекаются (вдали от нулей $f'(z)$ ). Это означает, что v есть специфическое решение задачи об ортогональной траектории для семейства контуров, заданных u (естественно, не единственное решение, поскольку мы можем взять и функции от v ): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века. столетия, поиска кривых, пересекающих заданное семейство непересекающихся кривых под прямым углом.

Гармоническое сопряжение в геометрии

встречается еще раз Термин «гармоническое сопряжение» в математике, а точнее, в проективной геометрии . Две точки A и B называются гармонически сопряженными друг с другом относительно другой пары точек C, D, если перекрестное отношение ( ABCD ) равно −1.

Ссылки

Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 61 . ISBN 0-07-912147-0 . Если две заданные функции u и v гармоничны в области D и их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) во всей D , v называется гармонически сопряженной функцией u .

Внешние ссылки