Ортогональная траектория

Концентрические круги с ортогональными траекториями (1. пример)

Параболы с ортогональными траекториями (пример 2)

В математике ортогональная траектория — это кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых ортогонально .

Например, ортогональные траектории пучка концентрических окружностей — это прямые, проходящие через их общий центр (см. схему).

Подходящие методы определения ортогональных траекторий обеспечиваются путем решения дифференциальных уравнений . Стандартный метод устанавливает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и решает его путем разделения переменных . Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях приходится применять численные методы.

Ортогональные траектории используются в математике, например, как изогнутые системы координат (т.е. эллиптические координаты ) и появляются в физике как электрические поля и их эквипотенциальные кривые .

Если траектория пересекает данные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, то получается изогональная траектория .

Определение ортогональной траектории

В декартовых координатах

Обычно предполагается, что пучок кривых неявно задается уравнением

(0) $:\ F(x,y,c)=0,\qquad$ 1. пример $:\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad$ 2. пример $y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,$

где $c$ параметр карандаша. Если карандаш задан явно уравнением $y=f(x,c)$, можно изменить представление на неявное: $y-f(x,c)=0$. Для дальнейших рассуждений предполагается, что все необходимые производные действительно существуют.

Шаг 1.

Неявное дифференцирование для $x$ урожайность

(1) $:\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad$ в 1. примере $:\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad$ 2. пример $:\ y'-2cx=0\ .$

Шаг 2.

Теперь предполагается, что уравнение (0) можно решить относительно параметра $c$, которое, таким образом, можно исключить из уравнения (1). Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

(2) $:\ y'=f(x,y),\qquad$ в 1. примере $:\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad$ 2. пример $:\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,$

которому удовлетворяет данный пучок кривых.

Шаг 3.

Поскольку наклон ортогональной траектории в точке $(x,y)$ является отрицательной мультипликативной обратной величиной наклона данной кривой в этой точке, ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

(3) $:\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad$ в 1. примере $:\ y'=y/x\ ,\qquad$ 2. пример $:\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .$

Шаг 4.

Это дифференциальное уравнение можно (надеюсь) решить подходящим методом.
Для обоих примеров разделение переменных подходит . Решения:
в примере 1 строки $y=mx,\ m\in \mathbb {R}$ и
в примере 2 эллипсы $x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .$

В полярных координатах

Если пучок кривых неявно представлен в полярных координатах выражением

(0р) $:\ F(r,\varphi ,c)=0$

как и в декартовом случае, определяется дифференциальное уравнение со свободным параметром

(1р) $:\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad$

(2р) $:\ \varphi '=f(r,\varphi )$

карандаша. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий тогда (см. Редхеффер и Порт, стр. 65, Хойзер, стр. 120)

(3р) $:\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .$

Ортогональные кардиоиды

Пример: Кардиоиды :

(0р) $:\ F(r,\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\$ (на схеме: синий)

(1р) $:\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad$

Устранение $c$ дает дифференциальное уравнение данного пучка:

(2р) $:\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}$

Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:

(3р) $:\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}$

Решив это дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получим

$r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,$

который описывает пучок кардиоид (красный на схеме), симметричный данному пучку.

Изогональная траектория

Кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом. $\alpha$ называется изогональной траекторией .

Между склоном $\eta '$ изогональной траектории и наклона $y'$ кривой карандаша в точке $(x,y)$ имеет место следующее соотношение:

$\eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .$

Это соотношение обусловлено формулой для $\tan(\alpha +\beta )$. Для $\alpha \rightarrow 90^{\circ }$ получается условие ортогональной траектории.

Для определения изогональной траектории необходимо настроить шаг 3 инструкции выше:

3-я ступень (изог. длительность)

Дифференциальное уравнение изогональной траектории:

• (3и) $:\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .$

Изогональные траектории концентрических окружностей для $\alpha =45^{\circ }$

Для примера 1 (концентрические круги) и угол $\alpha =45^{\circ }$ каждый получает

(3и) $:\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .$

Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать заменой $z=y/x$ в дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных . После обратной замены получим уравнение решения:

$\arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .$

Введение полярных координат приводит к простому уравнению

$C-\varphi =\ln(r)\ ,$

который описывает логарифмические спирали (см. схему).

Численные методы

В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, приходится решать его численно, например методами Рунге-Кутты .

См. также

• Кассини овал
• Конфокальные конические срезы
• Траектория
• Аполлоновы круги , пары семейств кругов, ортогональных друг другу.

Ссылки

• А. Джеффри: Высшая инженерная математика , Hartcourt/Academic Press, 2002, ISBN   0-12-382592-X , с. 233.
• С.Б. Рао: Дифференциальные уравнения , University Press, 1996, ISBN   81-7371-023-6 , с. 95.
• Р.М. Редхеффер, Д. Порт: Дифференциальные уравнения: теория и приложения , Jones & Bartlett, 1991, ISBN   0-86720-200-9 , с. 63.
• Х. Хойзер: Обыкновенные дифференциальные уравнения , Vieweg+Teubner, 2009, ISBN   978-3-8348-0705-2 , с. 120.
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Books on Mathematics, Courier Dover, стр. 115, ISBN  9780486134642 .

Внешние ссылки

• Исследование ортогональных траекторий - апплет, позволяющий пользователю рисовать семейства кривых и их ортогональные траектории.
• mathcurve: ПОЛЕВЫЕ ЛИНИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ, ДВОЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА