Jump to content

Ортогональная траектория

Концентрические круги с ортогональными траекториями (1. пример)
Параболы с ортогональными траекториями (пример 2)

В математике ортогональная траектория — это кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых ортогонально .

Например, ортогональные траектории пучка концентрических окружностей — это прямые, проходящие через их общий центр (см. схему).

Подходящие методы определения ортогональных траекторий обеспечиваются путем решения дифференциальных уравнений . Стандартный метод устанавливает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и решает его путем разделения переменных . Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях приходится применять численные методы.

Ортогональные траектории используются в математике, например, как изогнутые системы координат (т.е. эллиптические координаты ) и появляются в физике как электрические поля и их эквипотенциальные кривые .

Если траектория пересекает данные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, то получается изогональная траектория .

Определение ортогональной траектории

[ редактировать ]

В декартовых координатах

[ редактировать ]

Обычно предполагается, что пучок кривых неявно задается уравнением

(0) 1. пример 2. пример

где параметр карандаша. Если карандаш задан явно уравнением , можно изменить представление на неявное: . Для дальнейших рассуждений предполагается, что все необходимые производные существуют.

Шаг 1.

Неявное дифференцирование для урожайность

(1) в 1. примере 2. пример
Шаг 2.

Теперь предполагается, что уравнение (0) можно решить относительно параметра , которое, таким образом, можно исключить из уравнения (1). Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

(2) в 1. примере 2. пример

которому удовлетворяет данный пучок кривых.

Шаг 3.

Поскольку наклон ортогональной траектории в точке является отрицательной мультипликативной обратной величиной наклона данной кривой в этой точке, ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

(3) в 1. примере 2. пример
Шаг 4.

Это дифференциальное уравнение можно (надеюсь) решить подходящим методом.
Для обоих примеров разделение переменных подходит . Решения:
в примере 1 строки и
в примере 2 эллипсы

В полярных координатах

[ редактировать ]

Если пучок кривых неявно представлен в полярных координатах выражением

(0р)

как и в декартовом случае, определяется дифференциальное уравнение со свободным параметром

(1р)
(2р)

карандаша. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий тогда (см. Редхеффер и Порт, стр. 65, Хойзер, стр. 120)

(3р)
Ортогональные кардиоиды

Пример: Кардиоиды :

(0р) (на схеме: синий)
(1р)

Устранение дает дифференциальное уравнение данного пучка:

(2р)

Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:

(3р)

Решив это дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получим

который описывает пучок кардиоид (красный на схеме), симметричный данному пучку.

Изогональная траектория

[ редактировать ]

Кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом. называется изогональной траекторией .

Между склоном изогональной траектории и наклона кривой карандаша в точке имеет место следующее соотношение:

Это соотношение обусловлено формулой для . Для получается условие ортогональной траектории.

Для определения изогональной траектории необходимо настроить шаг 3 инструкции выше:

3-я ступень (изог. длительность)

Дифференциальное уравнение изогональной траектории:

  • (3и)
Изогональные траектории концентрических окружностей для

Для примера 1 (концентрические круги) и угол каждый получает

(3и)

Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать заменой в дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных . После обратной замены получим уравнение решения:

Введение полярных координат приводит к простому уравнению

который описывает логарифмические спирали (см. схему).

Численные методы

[ редактировать ]

В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, приходится решать его численно, например методами Рунге-Кутты .

См. также

[ редактировать ]
  • А. Джеффри: Высшая инженерная математика , Hartcourt/Academic Press, 2002, ISBN   0-12-382592-X , с. 233.
  • С.Б. Рао: Дифференциальные уравнения , University Press, 1996, ISBN   81-7371-023-6 , с. 95.
  • Р.М. Редхеффер, Д. Порт: Дифференциальные уравнения: теория и приложения , Jones & Bartlett, 1991, ISBN   0-86720-200-9 , с. 63.
  • Х. Хойзер: Обыкновенные дифференциальные уравнения , Vieweg+Teubner, 2009, ISBN   978-3-8348-0705-2 , с. 120.
  • Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Books on Mathematics, Courier Dover, стр. 115, ISBN  9780486134642 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e6b87deabf219009aecbb750ad4850af__1708986960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e6/af/e6b87deabf219009aecbb750ad4850af.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Orthogonal trajectory - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)