Ортогональная траектория
В математике ортогональная траектория — это кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых ортогонально .
Например, ортогональные траектории пучка концентрических окружностей — это прямые, проходящие через их общий центр (см. схему).
Подходящие методы определения ортогональных траекторий обеспечиваются путем решения дифференциальных уравнений . Стандартный метод устанавливает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и решает его путем разделения переменных . Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях приходится применять численные методы.
Ортогональные траектории используются в математике, например, как изогнутые системы координат (т.е. эллиптические координаты ) и появляются в физике как электрические поля и их эквипотенциальные кривые .
Если траектория пересекает данные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, то получается изогональная траектория .
Определение ортогональной траектории
[ редактировать ]В декартовых координатах
[ редактировать ]Обычно предполагается, что пучок кривых неявно задается уравнением
- (0) 1. пример 2. пример
где параметр карандаша. Если карандаш задан явно уравнением , можно изменить представление на неявное: . Для дальнейших рассуждений предполагается, что все необходимые производные существуют.
- Шаг 1.
Неявное дифференцирование для урожайность
- (1) в 1. примере 2. пример
- Шаг 2.
Теперь предполагается, что уравнение (0) можно решить относительно параметра , которое, таким образом, можно исключить из уравнения (1). Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
- (2) в 1. примере 2. пример
которому удовлетворяет данный пучок кривых.
- Шаг 3.
Поскольку наклон ортогональной траектории в точке является отрицательной мультипликативной обратной величиной наклона данной кривой в этой точке, ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
- (3) в 1. примере 2. пример
- Шаг 4.
Это дифференциальное уравнение можно (надеюсь) решить подходящим методом.
Для обоих примеров разделение переменных подходит . Решения:
в примере 1 строки и
в примере 2 эллипсы
В полярных координатах
[ редактировать ]Если пучок кривых неявно представлен в полярных координатах выражением
- (0р)
как и в декартовом случае, определяется дифференциальное уравнение со свободным параметром
- (1р)
- (2р)
карандаша. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий тогда (см. Редхеффер и Порт, стр. 65, Хойзер, стр. 120)
- (3р)
Пример: Кардиоиды :
- (0р) (на схеме: синий)
- (1р)
Устранение дает дифференциальное уравнение данного пучка:
- (2р)
Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:
- (3р)
Решив это дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получим
который описывает пучок кардиоид (красный на схеме), симметричный данному пучку.
Изогональная траектория
[ редактировать ]Кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом. называется изогональной траекторией .
Между склоном изогональной траектории и наклона кривой карандаша в точке имеет место следующее соотношение:
Это соотношение обусловлено формулой для . Для получается условие ортогональной траектории.
Для определения изогональной траектории необходимо настроить шаг 3 инструкции выше:
- 3-я ступень (изог. длительность)
Дифференциальное уравнение изогональной траектории:
- (3и)
Для примера 1 (концентрические круги) и угол каждый получает
- (3и)
Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать заменой в дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных . После обратной замены получим уравнение решения:
Введение полярных координат приводит к простому уравнению
который описывает логарифмические спирали (см. схему).
Численные методы
[ редактировать ]В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, приходится решать его численно, например методами Рунге-Кутты .
См. также
[ редактировать ]- Кассини овал
- Конфокальные конические срезы
- Траектория
- Аполлоновы круги , пары семейств кругов, ортогональных друг другу.
Ссылки
[ редактировать ]- А. Джеффри: Высшая инженерная математика , Hartcourt/Academic Press, 2002, ISBN 0-12-382592-X , с. 233.
- С.Б. Рао: Дифференциальные уравнения , University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6 , с. 95.
- Р.М. Редхеффер, Д. Порт: Дифференциальные уравнения: теория и приложения , Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9 , с. 63.
- Х. Хойзер: Обыкновенные дифференциальные уравнения , Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , с. 120.
- Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Books on Mathematics, Courier Dover, стр. 115, ISBN 9780486134642 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Исследование ортогональных траекторий - апплет, позволяющий пользователю рисовать семейства кривых и их ортогональные траектории.
- mathcurve: ПОЛЕВЫЕ ЛИНИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ, ДВОЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА