Точное дифференциальное уравнение

В математике точное дифференциальное уравнение или полное дифференциальное уравнение — это определенный вид обыкновенного дифференциального уравнения , которое широко используется в физике и технике.

Определение

Учитывая односвязное и открытое подмножество D ​ $\mathbb {R} ^{2}$ и две функции I и J на , непрерывные D , неявное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

$I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,$

называется точным дифференциальным уравнением , если существует непрерывно дифференцируемая функция F , называемая потенциальной функцией , так что

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

и

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

Точное уравнение также можно представить в следующем виде:

$I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0$

те же ограничения на I и J. где для точности дифференциального уравнения применяются

Номенклатура «точного дифференциального уравнения» относится к точному дифференциалу функции. Для функции $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$, точная или полная производная по $x_{0}$ дается

${\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.$

Пример

Функция $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ данный

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

является потенциальной функцией дифференциального уравнения

$x\,dx+y\,dy=0.\,$

первого порядка

точных дифференциальных уравнений

Пусть функции ${\textstyle M}$, ${\textstyle N}$, ${\textstyle M_{y}}$, и ${\textstyle N_{x}}$, где индексы обозначают частную производную по относительной переменной, быть непрерывным в области ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$. Тогда дифференциальное уравнение

$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$

является точным тогда и только тогда, когда

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

То есть существует функция $\psi (x,y)$, называемая потенциальной функцией , такая, что

$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Итак, в целом:

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей.

Предположим сначала, что существует функция $\psi (x,y)$ такой, что $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Отсюда следует, что $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$

С $M_{y}$ и $N_{x}$ непрерывны, то $\psi _{xy}$ и $\psi _{yx}$ также непрерывны, что гарантирует их равенство.

Вторая часть доказательства предполагает построение $\psi (x,y)$ а также может использоваться как процедура решения точных дифференциальных уравнений первого порядка. Предположим, что $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ и пусть есть функция $\psi (x,y)$ для чего $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Начнем с интегрирования первого уравнения относительно $x$. На практике не имеет значения, интегрируете ли вы первое или второе уравнение, главное, чтобы интегрирование выполнялось по соответствующей переменной.

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)$$

$$\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

где $Q(x,y)$ — любая дифференцируемая функция такая, что $Q_{x}=M$. Функция $h(y)$ играет роль константы интегрирования, но вместо просто константы она является функцией $y$, с $M$ является функцией обоих $x$ и $y$ и мы интегрируем только по отношению к $x$.

Теперь покажем, что всегда можно найти $h(y)$ такой, что $\psi _{y}=N$.

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

Дифференцируем обе стороны по $y$.

$${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)$$

Установите результат равным $N$ и решить для $h'(y)$.

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

Чтобы определить $h'(y)$ из этого уравнения правая часть должна зависеть только от $y$. Это можно доказать, показав, что его производная по $x$ всегда равен нулю, поэтому продифференцируйте правую часть по $x$.

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)$$

С $Q_{x}=M$,

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)$$

Итак, это ноль, исходя из нашего первоначального предположения, что $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

Поэтому,

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

$$h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}+C$$

И это завершает доказательство.

первого порядка

Точные дифференциальные уравнения первого порядка вида

$$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$$

можно записать через потенциальную функцию $\psi (x,y)$

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$$

где

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

Это эквивалентно взятию точного дифференциала $\psi (x,y)$.

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0$$

Тогда решения точного дифференциального уравнения имеют вид

$$\psi (x,y(x))=c$$

и задача сводится к поиску $\psi (x,y)$.

Это можно сделать, объединив два выражения $M(x,y)dx$ и $N(x,y)dy$ а затем записывая каждое слагаемое в полученных выражениях только один раз и суммируя их, чтобы получить $\psi (x,y)$.

Причина этого следующая. С

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

следует, интегрируя обе части, что

$${\begin{cases}\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

Поэтому,

$$Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$$

где $Q(x,y)$ и $P(x,y)$ являются дифференцируемыми функциями такими, что $Q_{x}=M$ и $P_{y}=N$.

Для того, чтобы это было правдой и чтобы обе стороны привели к одному и тому же выражению, а именно $\psi (x,y)$, затем $h(y)$ должно содержаться в выражении для $P(x,y)$ потому что оно не может содержаться внутри $g(x)$, поскольку это полностью функция $y$ и не $x$ и поэтому ему не разрешается иметь ничего общего с $x$. По аналогии, $g(x)$ должен содержаться в выражении $Q(x,y)$.

Поэтому,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)$$

для некоторых выражений $f(x,y)$ и $d(x,y)$.Подставив в приведенное выше уравнение, мы находим, что

$$g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$$

и так $f(x,y)$ и $d(x,y)$ оказывается одной и той же функцией. Поэтому,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)$$

Поскольку мы уже показали, что

$${\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

отсюда следует, что

$$\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$$

Итак, мы можем построить $\psi (x,y)$ делая $\int {M(x,y)dx}$ и $\int {N(x,y)dy}$ а затем взяв общие члены, которые мы находим в двух полученных выражениях (это будет $f(x,y)$ ), а затем добавляем термины, которые однозначно встречаются в любом из них - $g(x)$ и $h(y)$.

уравнения второго

Понятие точных дифференциальных уравнений можно распространить на уравнения второго порядка. Начнем с точного уравнения первого порядка:

$I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0$

Поскольку обе функции $I\left(x,y\right)$, $J\left(x,y\right)$ являются функциями двух переменных, неявное дифференцирование многомерной функции дает

${dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

Разложение полных производных дает следующее:

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

и это

${dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}$

Объединение ${\textstyle {dy \over dx}}$ условия дает

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

Если уравнение точное, то ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$. Кроме того, полная производная от $J\left(x,y\right)$ равна своей неявной обыкновенной производной ${\textstyle {dJ \over dx}}$. Это приводит к переписанному уравнению

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

Пусть теперь имеется некоторое дифференциальное уравнение второго порядка

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

Если ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ для точных дифференциальных уравнений тогда

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy$

и

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$

где $h\left(x\right)$ — некоторая произвольная функция только $x$ которое было дифференцировано до нуля при взятии частной производной от $I\left(x,y\right)$ относительно $y$. Хотя знак на $h\left(x\right)$ может быть положительным, более интуитивно понятным будет думать о результате интеграла как $I\left(x,y\right)$ здесь отсутствует какая-то оригинальная дополнительная функция $h\left(x\right)$ это было частично дифференцировано до нуля.

Далее, если

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

тогда термин ${\partial I \over \partial x}$ должна быть функцией только $x$ и $y$, поскольку частичное дифференцирование по $x$ будет держаться $y$ постоянной и не производить никаких производных от $y$. В уравнении второго порядка

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

только термин $f\left(x,y\right)$ это термин чисто $x$ и $y$. Позволять ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$. Если ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$, затем

$f\left(x,y\right)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

Поскольку полная производная $I\left(x,y\right)$ относительно $x$ эквивалентно неявной обыкновенной производной ${dI \over dx}$ , затем

$f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{dh\left(x\right) \over dx}$

Так,

${dh\left(x\right) \over dx}=f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)$

и

$h\left(x\right)=\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx$

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

является точным, только если $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ и только если приведенное ниже выражение

$\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx=\int \left(f\left(x,y\right)-{\partial \left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right) \over \partial x}\right)dx$

является функцией исключительно $x$. Один раз $h\left(x\right)$ вычисляется с произвольной константой, она добавляется к $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ сделать $I\left(x,y\right)$. Если уравнение точное, то его можно привести к точному виду первого порядка, который разрешим обычным методом для точных уравнений первого порядка.

$I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0$

Однако теперь в окончательном неявном решении будет $C_{1}x$ срок от интеграции $h\left(x\right)$ относительно $x$ в два раза лучше, чем $C_{2}$, две произвольные константы, как и ожидалось из уравнения второго порядка.

Пример

Учитывая дифференциальное уравнение

$\left(1-x^{2}\right)y''-4xy'-2y=0$

точность всегда можно легко проверить, изучив $y''$ срок. В этом случае как частичная, так и полная производная $1-x^{2}$ относительно $x$ являются $-2x$, поэтому их сумма равна $-4x$, что является именно термином перед $y'$. При выполнении одного из условий точности можно вычислить, что

$\int \left(-2x\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)=-2xy$

Сдача в аренду $f\left(x,y\right)=-2y$, затем

$\int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}\left(-2xy\right)\right)dx=\int \left(-2y-2xy'+2xy'+2y\right)dx=\int \left(0\right)dx=h\left(x\right)$

Так, $h\left(x\right)$ действительно является функцией только $x$ и дифференциальное уравнение второго порядка является точным. Поэтому, $h\left(x\right)=C_{1}$ и $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$. Приведение к точному уравнению первого порядка дает

$-2xy+C_{1}+\left(1-x^{2}\right)y'=0$

Интеграция $I\left(x,y\right)$ относительно $x$ урожайность

$-x^{2}y+C_{1}x+i\left(y\right)=0$

где $i\left(y\right)$ — некоторая произвольная функция $y$. Дифференцируя по $y$ дает уравнение, связывающее производную и $y'$ срок.

$-x^{2}+i'\left(y\right)=1-x^{2}$

Так, $i\left(y\right)=y+C_{2}$ и полное неявное решение становится

$C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0$

Решение явно для $y$ урожайность

$y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}$

порядка

Понятия точных дифференциальных уравнений можно расширить до любого порядка. Начиная с точного уравнения второго порядка

${d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f\left(x,y\right)=0$

ранее было показано, что уравнение определяется так, что

$f\left(x,y\right)={dh\left(x\right) \over dx}+{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}$

Неявное дифференцирование точного уравнения второго порядка $n$ раз даст $\left(n+2\right)$дифференциальное уравнение четвертого порядка с новыми условиями точности, которые можно легко вывести из формы полученного уравнения. Например, дифференцирование приведенного выше дифференциального уравнения второго порядка один раз для получения точного уравнения третьего порядка дает следующую форму:

${d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df\left(x,y\right) \over dx}=0$

где

${df\left(x,y\right) \over dx}={d^{2}h\left(x\right) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$

и где $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$является функцией только $x,y$ и ${dy \over dx}$. Объединив все ${dy \over dx}$ и ${d^{2}y \over dx^{2}}$ термины, не исходящие из $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ дает

${d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0$

Таким образом, тремя условиями точности дифференциального уравнения третьего порядка являются: ${d^{2}y \over dx^{2}}$ срок должен быть $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$, ${dy \over dx}$ срок должен быть ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ и

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$

должна быть функцией исключительно $x$.

Пример

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка

$yy'''+3y'y''+12x^{2}=0$

Если $J\left(x,y\right)=y$, затем $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ является $2y'y''$ и $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$которые вместе составляют $3y'y''$. К счастью, это присутствует в нашем уравнении. Для последнего условия точности

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}$

что на самом деле является функцией только $x$. Итак, дифференциальное уравнение является точным. Двойное интегрирование дает то, что $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$. Переписав уравнение в виде точного дифференциального уравнения первого порядка, получим

$x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0$

Интеграция $I\left(x,y\right)$ относительно $x$ дает это ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$. Дифференцируя по $y$ и приравнивая это к термину перед $y'$ в уравнении первого порядка дает, что $i'\left(y\right)=y$ и это $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$. Полное неявное решение становится

${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0$

Тогда явным решением будет

$y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}$

См. также

• Точный дифференциал
• Неточное дифференциальное уравнение

Дальнейшее чтение

• Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN   0-471-07894-8