Неточное дифференциальное уравнение

Неточное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение вида (см. также: неточный дифференциал )

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,{\text{ where }}{\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\frac {\partial N}{\partial x}}.$

Решение таких уравнений пришло с изобретением множителя интегрирующего Леонардом Эйлером в 1739 году.

Метод решения

Для того чтобы решить уравнение, нам необходимо преобразовать его в точное дифференциальное уравнение . Для этого нам нужно найти интегрирующий фактор. $\mu$ умножить уравнение на. Начнем с самого уравнения. $M\,dx+N\,dy=0$, поэтому мы получаем $\mu M\,dx+\mu N\,dy=0$. Мы потребуем $\mu$ удовлетворить ${\textstyle {\frac {\partial \mu M}{\partial y}}={\frac {\partial \mu N}{\partial x}}}$. Мы получаем

${\frac {\partial \mu }{\partial y}}M+{\frac {\partial M}{\partial y}}\mu ={\frac {\partial \mu }{\partial x}}N+{\frac {\partial N}{\partial x}}\mu .$

После упрощения получим

$M\mu _{y}-N\mu _{x}+(M_{y}-N_{x})\mu =0.$

Поскольку это уравнение в частных производных , решить его в большинстве случаев чрезвычайно сложно, однако в некоторых случаях мы получим либо $\mu (x,y)=\mu (x)$ или $\mu (x,y)=\mu (y)$, и в этом случае нам нужно только найти $\mu$ с линейным дифференциальным уравнением первого порядка или разделимым дифференциальным уравнением и, как таковое, либо

$\mu (y)=e^{-\int {{\frac {M_{y}-N_{x}}{M}}\,dy}}$

или

$\mu (x)=e^{\int {{\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}}.$

Дальнейшее чтение

• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1963). «Узнаваемые точные дифференциальные уравнения» . Обыкновенные дифференциальные уравнения: элементарный учебник для студентов-математиков, инженеров и естественных наук . Нью-Йорк: Дувр. стр. 80–91 . ISBN  0-486-64940-7 .

Внешние ссылки

• Решение неточного дифференциального уравнения из Stack Exchange
• руководство по нечастным неточным дифференциальным уравнениям по математике SOS