Разделение переменных

В математике . разделение переменных (также известное как метод Фурье ) — это любой из нескольких методов решения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных , в которых алгебра позволяет переписать уравнение так, чтобы каждая из двух переменных находилась на разных сторонах уравнения .

Решите пропорциональное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка. путем разделения переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Дифференциальное уравнение для неизвестного $f(x)$ будет сепарабельным, если его можно записать в виде

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))$

где $g$ и $h$ даны функции. Возможно, это более прозрачно, если писать с использованием $y=f(x)$ как:

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).$

Итак, теперь, пока h ( y ) ≠ 0, мы можем переставить члены, чтобы получить:

${dy \over h(y)}=g(x)\,dx,$

где две переменные x и y были разделены. Примечание dx (и dy ) на простом уровне можно рассматривать как просто удобную запись, которая обеспечивает удобную мнемоническую помощь для помощи в манипуляциях. Формальное определение dx как дифференциала (бесконечно малого) является несколько продвинутым.

Альтернативные обозначения

Те, кому не нравятся обозначения Лейбница, могут предпочесть написать это так:

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),$

но это не делает столь же очевидным, почему это называется «разделением переменных». Интегрируя обе части уравнения по $x$, у нас есть

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,$ ( А1 )

или эквивалентно,

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx$

из-за правила замены интегралов .

Если можно вычислить два интеграла, можно найти решение дифференциального уравнения. Обратите внимание, что этот процесс эффективно позволяет нам рассматривать производную ${\frac {dy}{dx}}$ как дробь, которую можно разделить. Это позволяет нам более удобно решать разделимые дифференциальные уравнения, как показано в примере ниже.

(Обратите внимание, что нам не нужно использовать две константы интегрирования в уравнении ( A1 ), как в

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},$

потому что одна константа $C=C_{2}-C_{1}$ эквивалентно.)

Пример

Рост населения часто моделируется «логистическим» дифференциальным уравнением.

${\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

где $P$ численность населения по времени $t$, $k$ это скорость роста, и $K$ это несущая способность окружающей среды.Разделение переменных теперь приводит к

${\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}$

который легко интегрируется с использованием простейших дробей в левой части, что дает

$P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$

где А — константа интегрирования. Мы можем найти $A$ с точки зрения $P\left(0\right)=P_{0}$ при t=0. Отмечая $e^{0}=1$ мы получаем

$A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.$

Обобщение сепарабельных ОДУ до n-го порядка

Подобно тому, как можно говорить о сепарабельном ОДУ первого порядка, можно говорить и о сепарабельном ОДУ второго, третьего или n -го порядка. Рассмотрим сепарабельное ОДУ первого порядка:

${\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)$

Альтернативно производную можно записать следующим образом, чтобы подчеркнуть, что это оператор, работающий с неизвестной функцией y :

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)$

Таким образом, когда кто-то разделяет переменные для уравнений первого порядка, он фактически перемещает знаменатель dx оператора в сторону с переменной x , а d ( y ) остается на стороне с переменной y . Оператор второй производной, по аналогии, разбивается следующим образом:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)$

Операторы третьей, четвертой и n -й производных работают таким же образом. Таким образом, подобно сепарабельному ОДУ первого порядка, его можно свести к виду

${\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)$

сепарабельное ОДУ второго порядка можно привести к виду

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)$

и сепарабельное ОДУ n-го порядка сводится к

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)$

Пример

Рассмотрим простое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка: $$y''=(y')^{2}.$$Это уравнение представляет собой уравнение только y'' и y' , что означает, что оно может быть сведено к общей форме, описанной выше, и, следовательно, разделимо. Поскольку это разделимое уравнение второго порядка, соберите все переменные x с одной стороны и все переменные y' с другой, чтобы получить: $${\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.$$Теперь проинтегрируем правую часть по x и левую по y' : $$\int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.$$Это дает $$-{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},$$что упрощает: $$y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.$$Теперь это простая интегральная задача, дающая окончательный ответ: $$y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.$$

Уравнения в частных производных

См. Также: Сепарабельное уравнение в частных производных.

Метод разделения переменных также используется для решения широкого круга линейных дифференциальных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение , уравнение Лапласа , уравнение Гельмгольца и бигармоническое уравнение .

Аналитический метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных также был обобщен до вычислительного метода разложения по инвариантным структурам, который можно использовать для решения систем уравнений в частных производных.

Пример: однородный случай

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности . Уравнение

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$ ( 1 )

Переменная u обозначает температуру. Граничное условие однородно, т.е.

$u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0$ ( 2 )

Попробуем найти решение, которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям, но обладает следующим свойством: u — произведение, в котором зависимость u от x , t разделена, то есть:

$u(x,t)=X(x)T(t).$ ( 3 )

Подставляя u обратно в уравнение ( 1 ) и используя правило произведения ,

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.$ ( 4 )

Поскольку правая часть зависит только от x , а левая часть только от t , обе части равны некоторому постоянному значению − λ . Таким образом:

$T'(t)=-\lambda \alpha T(t),$ ( 5 )

и

$X''(x)=-\lambda X(x).$ ( 6 )

− λ здесь — собственное значение обоих дифференциальных операторов, а T ( t ) и X ( x ) — соответствующие собственные функции .

Теперь мы покажем, что решения для X ( x ) для значений λ ≤ 0 не могут возникнуть:

Предположим, что λ < 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что

$X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.$

Из ( 2 ) получаем

$X(0)=0=X(L),$ ( 7 )

и, следовательно, B = 0 = C , что означает, что u тождественно равно 0.

Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что

$X(x)=Bx+C.$

Из ( 7 ) заключаем так же, как и в 1, что u тождественно равно 0.

Следовательно, должно быть так, что λ > 0. Тогда существуют действительные числа A , B , C такие, что

$T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},$

и

$X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).$

Из ( 7 ) получаем C что для некоторого натурального числа n = 0 и

${\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет специальную форму ( 3 ).

В общем, сумма решений ( 1 ), удовлетворяющих граничным условиям ( 2 ), также удовлетворяет ( 1 ) и ( 3 ). Следовательно, полное решение может быть представлено в виде

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),$

где D _n – коэффициенты, определяемые начальными условиями.

Учитывая начальное состояние

$u{\big |}_{t=0}=f(x),$

мы можем получить

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.$

Это ) в ряд синуса разложение f ( x , которое поддается анализу Фурье. Умножив обе части на ${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$ и интегрирование по [0, L ] приводит к

$D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.$

Этот метод требует, чтобы собственные функции X , здесь ${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, ортогональны и полны . В общем случае это гарантируется теорией Штурма–Лиувилля .

Пример: неоднородный случай

Предположим, что уравнение неоднородно,

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)$ ( 8 )

с граничным условием таким же, как ( 2 ).

Разверните h ( x,t ), u ( x , t ) и f ( x ) в

$h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},$ ( 9 )

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},$ ( 10 )

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}},$ ( 11 )

где h _n ( t ) и bn _{можно вычислить} путем интегрирования, а un _{) необходимо} ( t определить.

Подставим ( 9 ) и ( 10 ) обратно в ( 8 ) и учитывая ортогональность синусоидальных функций, получим

$u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),$

которые представляют собой последовательность линейных дифференциальных уравнений , которые можно легко решить, например, с помощью преобразования Лапласа или интегрирующего коэффициента . Наконец, мы можем получить

$u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).$

Если граничное условие неоднородно, то разложение ( 9 ) и ( 10 ) перестает быть справедливым. Нужно найти функцию v , удовлетворяющую только граничному условию, и вычесть ее из u . Тогда функция uv удовлетворяет однородному граничному условию и может быть решена с помощью описанного выше метода.

Пример: смешанные производные финансовые инструменты

Для некоторых уравнений, включающих смешанные производные, уравнение не разделяется так легко, как уравнение теплопроводности в первом примере выше, но, тем не менее, разделение переменных все же можно применять. Рассмотрим двумерное бигармоническое уравнение

${\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.$

Действуя обычным образом, ищем решения вида

$u(x,y)=X(x)Y(y)$

и мы получаем уравнение

${\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.$

Записав это уравнение в виде

$E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,$

Взяв производную этого выражения по $x$ дает $E'(x)+F'(x)G(y)=0$ что означает $G(y)=const.$ или $F'(x)=0$ и аналогично, взяв производную по $y$ приводит к $F(x)G'(y)+H'(y)=0$ и таким образом $F(x)=const.$ или $G'(y)=0$, следовательно, либо F ( x ), либо G ( y ) должны быть константой, скажем, −λ. Это далее означает, что либо $-E(x)=F(x)G(y)+H(y)$ или $-H(y)=E(x)+F(x)G(y)$ постоянны. Возвращаясь к уравнению для X и Y , мы имеем два случая

${\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}$

каждое из которых можно решить, рассматривая отдельные случаи $\lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0$ и отмечая, что $\mu _{i}=\lambda _{i}^{2}$.

Криволинейные координаты

В ортогональных криволинейных координатах разделение переменных все еще может использоваться, но в некоторых деталях отличается от такового в декартовых координатах. Например, регулярность или периодическое условие могут определять собственные значения вместо граничных условий. См. сферические гармоники , например, .

Применимость

Уравнения в частных производных

Для многих УЧП, таких как волновое уравнение, уравнение Гельмгольца и уравнение Шредингера, применимость разделения переменных является результатом спектральной теоремы . В некоторых случаях разделение переменных может оказаться невозможным. Разделение переменных возможно в некоторых системах координат, но не в других. и то, какие системы координат допускают разделение, зависит от свойств симметрии уравнения. Ниже приводится схема аргументации, демонстрирующей применимость метода к некоторым линейным уравнениям, хотя точный метод может отличаться в отдельных случаях (например, в приведенном выше бигармоническом уравнении).

Рассмотрим начально-краевую задачу для функции $u(x,t)$ на $D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}$ в двух переменных:

$(Tu)(x,t)=(Su)(x,t)$

где $T$ является дифференциальным оператором относительно $x$ и $S$ является дифференциальным оператором относительно $t$ с граничными данными:

$(Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0$ для $t\geq 0$

$(Su)(x,0)=h(x)$ для $0\leq x\leq l$

где $h$ это известная функция.

Ищем решения вида $u(x,t)=f(x)g(t)$. Разделив PDE на $f(x)g(t)$ дает

${\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}$

Правая часть зависит только от $x$ и только левая сторона $t$ поэтому оба должны быть равны константе $K$, что дает два обыкновенных дифференциальных уравнения

$Tf=Kf,Sg=Kg$

которые мы можем признать как проблемы собственных значений для операторов $T$ и $S$. Если $T$ — компактный самосопряженный оператор в пространстве $L^{2}[0,l]$ наряду с соответствующими граничными условиями, то по Спектральной теореме существует основа для $L^{2}[0,l]$ состоящая из собственных функций для $T$. Пусть спектр $T$ быть $E$ и пусть $f_{\lambda }$ быть собственной функцией с собственным значением $\lambda \in E$. Тогда для любой функции, которая в каждый момент времени $t$ интегрируемо с квадратом относительно $x$, мы можем записать эту функцию как линейную комбинацию $f_{\lambda }$. В частности, мы знаем решение $u$ можно записать как

$u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)$

Для некоторых функций $c_{\lambda }(t)$. При разделении переменных эти функции задаются решениями задачи $Sg=Kg$

Следовательно, спектральная теорема гарантирует, что разделение переменных (если это возможно) позволит найти все решения.

Для многих дифференциальных операторов, таких как ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$, мы можем показать, что они самосопряжены, интегрированием по частям. Хотя эти операторы не могут быть компактными, их обратные (если они существуют) могут быть, как и в случае волнового уравнения, и эти обратные имеют те же собственные функции и собственные значения, что и исходный оператор (за возможным исключением нуля).

Матрицы

Матричной формой разделения переменных является сумма Кронекера .

В качестве примера мы рассмотрим 2D дискретный лапласиан на регулярной сетке :

$L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,$

где $\mathbf {D_{xx}}$ и $\mathbf {D_{yy}}$ являются одномерными дискретными лапласианами в направлениях x и y соответственно, и $\mathbf {I}$ — тождества соответствующих размеров. см. в основной статье « Сумма Кронекера дискретных лапласианов» Подробности .

Программное обеспечение

Некоторые математические программы способны выполнять разделение переменных: Xcas среди других.

См. также

• Неразделимое дифференциальное уравнение

Ссылки

• Полянин, Андрей Д. (28 ноября 2001 г.). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . ISBN  1-58488-299-9 .
• Мьинт-У, Тын; Дебнат, Локенат (2007). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон . дои : 10.1007/978-0-8176-4560-1 . ISBN  978-0-8176-4393-5 .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике . Том. 140. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .

Внешние ссылки

• «Метод Фурье» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Ренце, Эрик В. Вайсштейн , « Разделение переменных » (« Дифференциальное уравнение ») в MathWorld .
• Методы обобщенного и функционального разделения переменных в EqWorld: мир математических уравнений
• Примеры разделения переменных для решения УЧП
• «Краткое обоснование разделения переменных»